Pseudo-R-kwadrat

pseudo-R-kwadrat stosuje się ^, gdy zmienna wynikowa jest nominalna lub porządkowa, tak że współczynnik determinacji R2 nie może być zastosowany jako miara dobroci dopasowania.

W regresji liniowej kwadrat korelacji wielokrotnej R2 jest używany do oceny dobroci dopasowania, ponieważ reprezentuje odsetek wariancji w kryterium, który jest wyjaśniony przez predyktory ^. W analizie regresji logistycznej nie ma uzgodnionej analogicznej miary, ale istnieje kilka konkurencyjnych miar, z których każda ma ograniczenia.

W tym artykule przeanalizowano cztery najczęściej używane wskaźniki i jeden rzadziej używany:

• Współczynnik wiarygodności R ² _L
• Cox i Snell R ² _CS
• Nagelkerke R ² _N
• McFadden R2 _McF ^_
• Tjur R ² _T

R2L _autorstwa Cohena ^_

R2L podaje ^Cohen _:

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {L}} ^ {2} = {\ Frac {D_ {\ tekst {null}} -D _ {\ tekst {dopasowany}}} {D_ {\ tekst {null}}}}. }$

Jest to najbardziej analogiczny wskaźnik do kwadratu wielokrotnych korelacji w regresji liniowej. Reprezentuje proporcjonalną redukcję odchylenia, przy czym odchylenie jest traktowane jako miara zmienności analogiczna, ale nie identyczna z wariancją w analizie regresji liniowej . Jednym z ograniczeń ilorazu prawdopodobieństwa R2 jest to, że nie jest on monotonicznie powiązany z ilorazem szans, co oznacza, że ​​niekoniecznie wzrasta wraz ze wzrostem ilorazu szans i niekoniecznie maleje wraz ze spadkiem ilorazu szans ^.

R ² _CS autorstwa Coxa i Snella

R2CS ^jest alternatywnym wskaźnikiem dopasowania związanym z _wartością R2 z regresji liniowej ^. Podaje go:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R _ {\ tekst {CS }}^{2}&=1-\left({\frac {L_{0}}{L_{M}}}\right)^{2/n}\\[5pt]&=1-e^{ 2(\ln(L_{0})-\ln(L_{M}))/n}\end{wyrównane}}}$

gdzie L _M i L ₀ są odpowiednio prawdopodobieństwem dopasowanego modelu i modelu zerowego. Indeks Coxa i Snella jest problematyczny, ponieważ jego maksymalna wartość wynosi ${\ Displaystyle 1-L_ {0} ^ {2/n}}$ . Najwyższa możliwa górna granica to 0,75, ale z łatwością może wynosić nawet 0,48, gdy krańcowa proporcja przypadków jest niewielka.

R2N _firmy Nagelkerke ^_

R ² _N , zaproponowane przez Nico Nagelkerke w często cytowanym artykule Biometrika, zapewnia poprawkę do R ^{2 Coxa i Snella} , tak aby maksymalna wartość była równa 1. Niemniej jednak, Cox i Snell oraz iloraz wiarygodności R ² s wykazują większą zgodność ze sobą niż którykolwiek z Nagelkerke R ² . Oczywiście może tak nie być w przypadku wartości przekraczających 0,75, ponieważ indeks Coxa i Snella jest ograniczony do tej wartości. Współczynnik prawdopodobieństwa R ² jest często preferowany w stosunku do alternatyw, ponieważ jest najbardziej analogiczny do R ² w regresji liniowej , jest niezależny od współczynnika podstawowego (zarówno Cox i Snell, jak i Nagelkerke R ² s wzrasta wraz ze wzrostem odsetka przypadków od 0 do 0,5) i waha się między 0 i 1.

R2 ^McF firmy _McFadden

R2McF ^jest zdefiniowany _jako

${\ Displaystyle R _ {\ tekst {McF}} ^ {2} = 1 - {\ Frac {\ ln (L_ {M})}} \ln(L_{0})}},}$

i jest preferowany ^przez _{Allison w stosunku do} R2CS . Dwa wyrażenia R ² _McF i R ² _CS są następnie odpowiednio powiązane przez,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} R _ {\ tekst {CS}} ^ {2} = 1- \ lewo ({\ dfrac {1} {1} {L_ {0}}} \ prawej) ^ {\ Frac {2 ( R_{\text{McF}}^{2})}{n}}\\[1.5em]R_{\text{McF}}^{2}=-{\dfrac {n}{2}}\cdot {\dfrac {\ln(1-R_{\text{CS}}^{2})}{\ln L_{0}}}\end{macierz}}}$

R2T _autorstwa Tjura ^_

Jednak Allison preferuje teraz R2T ^{, które} _jest stosunkowo nową miarą opracowaną przez Tjura. Można to obliczyć w dwóch krokach:

1. Dla każdego poziomu zmiennej zależnej znajdź średnią przewidywanych prawdopodobieństw zdarzenia.
2. Weź wartość bezwzględną różnicy między tymi średnimi

Interpretacja

statystyk pseudo ^- R2 należy zachować ostrożność . Powodem, dla którego te wskaźniki dopasowania są określane jako pseudoR2 , jest to ^{, że nie reprezentują} one proporcjonalnej redukcji błędu, jak ma to miejsce w przypadku R2 w regresji liniowej . Regresja liniowa zakłada homoskedastyczność , czyli wariancja błędu jest taka sama dla wszystkich wartości kryterium. Regresja logistyczna zawsze będzie heteroskedastyczna – wariancje błędów są różne dla każdej wartości przewidywanego wyniku. Dla każdej wartości przewidywanego wyniku byłaby inna wartość proporcjonalnej redukcji błędu. Dlatego niewłaściwe jest myślenie o R2 jako o proporcjonalnej redukcji błędu w sensie uniwersalnym w regresji logistycznej ^.