Pseudoprawdopodobieństwo

W teorii statystycznej pseudoprawdopodobieństwo jest przybliżeniem łącznego rozkładu prawdopodobieństwa zbioru zmiennych losowych . Praktyczne zastosowanie tego polega na tym, że może zapewnić przybliżenie funkcji wiarygodności zbioru obserwowanych danych, co może albo zapewnić prostszy obliczeniowo problem do estymacji , albo może zapewnić sposób uzyskania wyraźnych estymatorów parametrów modelu.

Podejście pseudowiarygodności zostało wprowadzone przez Juliana Besaga w kontekście analizy danych mających zależność przestrzenną .

Definicja

${\ Displaystyle X = x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})$$_$ zbiór _ }

${\ Displaystyle L (\ teta): = \ prod _ {i} \ operatorname {Pr} _ {\ theta} (X_ {i} = x_ {i} \ środek X_ {j} = x_ {j} {\ tekst { for }}j\neq i)=\prod _{i}\mathrm {Pr} _{\theta }(X_{i}=x_{i}\mid X_{-i}=x_{-i}) }$

w dyskretnym przypadku i

${\ Displaystyle L (\ theta): = \ prod _ {i} p _ {\ theta} (x_ {i} \ mid x_ {j} {\ tekst {dla}} j \ neq i) = \ prod _{i}p_{\theta }(x_{i}\mid x_{-i})=\prod _{i}p_{\theta }(x_{i}\mid x_{1},\ldots ,{ \hat {x}}_{i},\ldots,x_{n})}$

w ciągłym. Tutaj jest wektorem zmiennych, ${\ displaystyle x$$}$ jest wektorem wartości, jest $p _ {\ theta} (\ cdot \ mid \ cdot)}$$_$ i _ Wyrażenie ${\ displaystyle X = x}$ powyżej oznacza, że ​​każda zmienna $w$${\ displaystyle x}$ odpowiadającą wartość w wektorze $displaystyle$$X_ {i}}$ i ${\ Displaystyle x_ {-i} = (x_ {1}, \ ldots, {\ kapelusz {x}} _ {i}, \ ldots, x_ {n})} oznacza, że ​​współrzędna x ja {$ \ ${ i}}$ został pominięty. Wyrażenie $oznacza$$_$ wektor równe ${\ displaystyle x}$ . To prawdopodobieństwo zależy oczywiście od nieznanego parametru. ${\ displaystyle \ teta}$ . Ponieważ sytuacje można często opisać za pomocą zmiennych stanu obejmujących zbiór możliwych wartości, wyrażenie może zatem reprezentować ${\ displaystyle \ operatorname {Pr} _ {\ theta} (X = x)}$ prawdopodobieństwo określonego stanu spośród wszystkich możliwych stanów dozwolonych przez zmienne stanu.

Pseudologarytm wiarygodności jest podobną miarą wywodzącą się z powyższego wyrażenia, a mianowicie (w dyskretnym przypadku)

${\ Displaystyle l (\ teta): = \ log L (\ teta) = \ suma _ {i} \ log \ operatorname {Pr} _ {\ theta} (X_ {i} = x_ {i} \ połowa X_ { j}=x_{j}{\text{dla }}j\neq i).}$

Jednym z zastosowań miary pseudowiarygodności jest przybliżenie wnioskowania o sieci Markowa lub Bayesa , ponieważ pseudoprawdopodobieństwo przypisania do często można $to$ skuteczniej niż prawdopodobieństwo, szczególnie gdy może wymagać marginalizacji dużej liczby zmiennych.

Nieruchomości

Użycie pseudowiarygodności zamiast funkcji prawdziwej wiarygodności w analizie największej wiarygodności może prowadzić do dobrych szacunków, ale proste zastosowanie zwykłych technik wiarygodności w celu uzyskania informacji o niepewności estymacji lub do testowania istotności byłoby na ogół nieprawidłowe.