Punkt graniczny (geometria)
W geometrii punkty graniczne dwóch rozłącznych okręgów A i B na płaszczyźnie euklidesowej to punkty p , które można zdefiniować za pomocą dowolnej z następujących równoważnych właściwości:
- Ołówek okręgów zdefiniowanych przez A i B zawiera zdegenerowany (promień zero) okrąg o środku w p .
- Każdy okrąg lub prosta prostopadła do A i B przechodzi przez p .
- Inwersja wyśrodkowana w punkcie p przekształca A i B w koncentryczne okręgi .
Punktem środkowym dwóch punktów granicznych jest punkt, w którym oś radykalna A i B przecina linię przechodzącą przez ich środki. Ten punkt przecięcia ma jednakową odległość potęgową do wszystkich okręgów w ołówku zawierających A i B . Same punkty graniczne można znaleźć w tej odległości po obu stronach punktu przecięcia, na linii przechodzącej przez środki dwóch okręgów. Z tego faktu łatwo jest skonstruować punkty graniczne algebraicznie lub za pomocą kompasu i liniału . Wyraźny wzór wyrażający punkty graniczne jako rozwiązanie równania kwadratowego we współrzędnych środków okręgów i ich promieni podaje Weisstein.
Odwrócenie jednego z dwóch punktów granicznych przez A lub B tworzy drugi punkt graniczny. Inwersja wyśrodkowana w jednym punkcie granicznym odwzorowuje drugi punkt graniczny na wspólny środek koncentrycznych okręgów.