Równania Stromingera

W heterotycznej teorii strun supersymetrii równania Stromingera są zbiorem równań, które są warunkami koniecznymi i wystarczającymi dla czasoprzestrzeni . Wyprowadza się to, wymagając, aby czterowymiarowa czasoprzestrzeń była maksymalnie symetryczna i dodając współczynnik wypaczenia do wewnętrznej 6-wymiarowej rozmaitości.

Rozważ metrykę na $rzeczywistej$ 6-wymiarowej rozmaitości wewnętrznej Y i metrykę hermitowską h na wiązce V . Równania to:

1. Czterowymiarowa czasoprzestrzeń to Minkowski , tj. ${\ Displaystyle g = \ eta}$ .
2. Rozmaitość wewnętrzna Y musi być złożona, tj. tensor Nijenhuisa musi zniknąć. ${\ displaystyle N = 0}$ .
3. Forma hermitowska na złożonym potrójnym Y i metryka hermitowska h na wiązce wektorowej V muszą spełniać, ω {\ displaystyle $omega}$
   1. ${\ Displaystyle \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ omega = i {\ text{Tr}}F(h)\klin F(h)-i{\text{Tr}}R^{-}(\omega )\klin R^{-}(\omega),}$
   2. 
      ${\ Displaystyle d ^ {\ sztylet} \ omega = i (\ częściowe - {\ bar {\ częściowe}}) {\ tekst {ln}} || \ Omega ||,} gdzie R - {$ \ $^ {-}}$ jest dwupostaciową krzywizną kadłuba , F jest krzywizną h $displaystyle$ a jest holomorficznym n $\ omega}$ -formularz; F jest również znany w literaturze fizyki jako natężenie pola Yanga-Millsa . Li i Yau wykazali, że drugi warunek jest równoważny konforemnemu $wyważeniu , tj.$$omega }\ omega ^{2})=0}$${\ Displaystyle d (||\ Omega ||_ {$ .
4. Siła pola Yanga-Millsa musi spełniać,
   1. $\ omega ^ {a {\ bar {b}}} F_ {a {\ bar {b}}} = 0,}$
   2. $F_ {ab} = F _ {{\ bar {a}} {\ bar {b}}} = 0.}$

Równania te implikują zwykłe równania pola, a zatem są jedynymi równaniami do rozwiązania.

Istnieją jednak przeszkody topologiczne w uzyskiwaniu rozwiązań równań;

1. Druga klasa Cherna rozmaitości i druga klasa Cherna pola cechowania muszą być równe, tj. ${\ Displaystyle c_ {2} (M) = c_ {2} ( F)}$
2. Holomorficzny n -form musi istnieć, tj. $n, 0} = 1}$$1$ i do $displaystyle c_ {1} = 0$ { .

W przypadku, gdy $V$ jest wiązką styczną jest $Kählerem , możemy uzyskać rozwiązanie$ równań, biorąc metrykę Calabiego – Yau na $}$ i ${\ Displaystyle T_ {Y}}$ .

Po uzyskaniu rozwiązań równań Stromingera współczynnik wypaczenia , dilaton ${\ displaystyle$$\ phi}$ i strumień tła H są określane przez Δ {\ displaystyle \ Delta

1. ${\ Displaystyle \ Delta (y) = \ fi (y) + {\ tekst {stała}}}$ ,
2. ${\ Displaystyle \ phi (y) = {\ Frac {1} {8}} {\ tekst {ln}} ||\ Omega ||+ {\ tekst {stała}}}$ ,
3. ${\ Displaystyle H = {\ Frac {i} {2}} ({\ bar {\ częściowy}} - \ częściowy) \ omega.}$

• Cardoso, Curio, Dall'Agata, Lust, Manousselis i Zoupanos, tła strun innych niż Kähler i ich pięć klas skrętnych , hep-th/0211118