Równanie Gassmanna

Równanie Gassmanna , po raz pierwszy opisane przez Fritza Gassmanna , jest stosowane w geofizyce, a jego zależności zyskują coraz większą uwagę, ponieważ dane sejsmiczne są coraz częściej wykorzystywane do monitorowania zbiorników. Równanie Gassmanna jest najczęstszym sposobem wykonania modelu podstawienia płynu na podstawie jednego znanego parametru.

Procedura

Preparaty te pochodzą z Avseth et al. (2006).

$}$ zestaw prędkości i gęstości, i V $Displaystyle$ } ${\ Displaystyle \ rho ^ {(1)}}$ odpowiadającej skale z początkowym zestawem płynów, możesz obliczyć prędkości i gęstości skały z innym zestawem płynów. Często te prędkości są mierzone na podstawie dzienników studni, ale mogą również pochodzić z modelu teoretycznego.

Krok 1: Wyodrębnij dynamiczne moduły objętości i ścinania z ${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {P}} ^ {(1)}}$ , ${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {S} } ^ {(1)}}$ i ${\ Displaystyle \ rho ^ {(1)}}$ :

${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(1)} = \ rho \left((V_{\mathrm {P} }^{(1)})^{2}-{\frac {4}{3}}(V_{\mathrm {S} }^{(1)}) ^{2}\right)}$

$\ Displaystyle \ mu _ {\ operatorname {s}} ^ {(1)} = \ rho (V _ {\ operatorname {S}} ^ {(1)}) ^ {2}}$

Krok 2: Zastosuj zależność Gassmanna o następującej postaci, aby przekształcić nasycony moduł objętościowy:

${\ Displaystyle {\ Frac {K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2)}} {K _ {\ operatorname {minerał}} -K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2)}} }-{\frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn}}^{(2)})} }={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\ frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn}}^{(1)})}}}$

gdzie ${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(1)}}$ i ${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2) }}$ to moduły objętości skały nasycone płynem 1 i płynem 2 i $\ Displaystyle K _ {\ operatorname {płyn}} ^ {(1)}}$ i ${\ Displaystyle K _ {\ mathrm {płyn} } ^ {(2)}}$ to moduły objętościowe samych płynów.

Krok 3: Pozostaw niezmieniony moduł ścinania (sztywność jest niezależna od rodzaju płynu):

${\ Displaystyle \ mu _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2)} = \ mu _ {\ operatorname {sat}} ^ {(1) }}$

Krok 4: Skoryguj gęstość nasypową dla zmiany płynu:

${\ Displaystyle \ rho ^ {(2)} = \ rho ^ {(1 )}+\phi (\rho _{\mathrm {płyn} }^{(2)}-\rho _{\mathrm {płyn} }^{(1)})}$

Krok 5: ponownie oblicz prędkości zastąpione płynem

${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {P}} ^ {(2)} = {\ sqrt {\ frac {K_{\mathrm {s} }^{(2)}+{\frac {4}{3}}\mu _{\mathrm {s} }^{(2)}}{\rho ^{( 2)}}}}}$

${\ Displaystyle V _ {\ operatorname {S}} ^ {(2)} = {\ sqrt {\ Frac {\ mu _ {\ operatorname {s}} ^ {(2)}} {\ rho ^ {( 2)}}}}}$

Przegrupowanie dla K _sat

Dany

${\ Displaystyle {\ Frac {K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2)}} {K _ {\ operatorname {minerał}} -K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(2)}} }-{\frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn}}^{(2)})} }={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\ frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn}}^{(1)})}}}$

Pozwalać

$Displaystyle S = {\ Frac {K _ {\ operatorname {sat}} ^ {(1)}}} K_ {\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}}$

I

${\ Displaystyle F_ {1} = {\ Frac {K _ {\ operatorname {płyn}} ^ {(1)}} {\ fi (K_ {\ operatorname {minerał} } }-K_{\mathrm {ciecz} }^{(1)})}}\ \ \ \ F_{2}={\frac {K_{\mathrm {ciecz}}^{(2)}}{\ fi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn} }^{(2)})}}}$

Następnie

$\ Displaystyle K _ {\ operatorname {s}} ^ {(2)} = {\ Frac {K_ { \mathrm {minerał} }}{{\frac {1}{S-F_{1}+F_{2}}}+1}}}$

Lub rozszerzony

${\ Displaystyle K _ {\ operatorname {s}} ^ {(2)} = {\ Frac {K _ {\ operatorname {minerał}}} {\ lewo [{{\ Frac {K_ {\ operatorname {s}} ^ {(1)}}{K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(1) }}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn} }^{(1)})}}+{\frac {K_{\mathrm {płyn}}^{(2) }}{\phi (K_{\mathrm {minerał}}-K_{\mathrm {płyn} }^{(2)})}}}\right]^{-1}+1}}}$

Założenia

Ciśnienie porowe wywołane obciążeniem jest jednorodne i identyczne we wszystkich porach

Założenie to implikuje, że moduł sprężystości przy ścinaniu nasyconej skały jest taki sam jak moduł sprężystości przy ścinaniu suchej skały ${\ Displaystyle \ mu _ {\ operatorname {sat}} = \ mu _ {\ matematyka {sucha} }}$ .

Porowatość nie zmienia się z różnymi płynami nasycającymi

Zastąpienie płynu Gassmanna wymaga, aby porowatość pozostała stała. Założenie jest takie, że przy niezmienionych innych parametrach różne płyny nasycające nie powinny wpływać na porowatość skały. Nie uwzględnia to diagenetycznych , takich jak cementacja lub rozpuszczanie, które zmieniają się wraz ze zmieniającymi się warunkami geochemicznymi w porach. Na przykład cement kwarcowy częściej wytrąca się w porach wypełnionych wodą niż w porach wypełnionych węglowodorami (Worden i Morad, 2000). Tak więc ta sama skała może mieć różną porowatość w różnych miejscach ze względu na lokalne nasycenie wodą.

Efekty częstotliwościowe są pomijalne w pomiarach

Równania Gassmanna są zasadniczo dolną granicą częstotliwości bardziej ogólnych równań ruchu Biota dla materiałów poroelastycznych. Przy sejsmicznych (10–100 Hz) błąd w stosowaniu równania Gassmanna może być pomijalny. Jednak przy ograniczaniu niezbędnych parametrów za pomocą dźwięku pomiary przy częstotliwościach rejestracji (~20 kHz) założenie to może zostać naruszone. Lepszym rozwiązaniem, ale bardziej intensywnym obliczeniowo, byłoby użycie równania Biota zależnego od częstotliwości do obliczenia efektów substytucji płynów. Jeśli dane wyjściowe z tego procesu będą zintegrowane z danymi sejsmicznymi, uzyskane parametry sprężyste muszą być również skorygowane o efekty dyspersyjne .

Rama skalna nie jest zmieniana przez nasycający płyn

Równania Gassmanna zakładają brak interakcji chemicznych między płynami a ciałami stałymi.