Równanie Grada-Szafranowa

Grada -Shafranova ( H. Grad i H. Rubin (1958); Vitalii Dmitrievich Shafranov (1966)) jest równaniem równowagi w idealnej magnetohydrodynamice (MHD) dla dwuwymiarowej plazmy , na przykład osiowosymetrycznej toroidalnej plazmy w tokamaku . To równanie ma taką samą postać jak równanie Hicksa z dynamiki płynów. To równanie jest dwuwymiarowym , nieliniowym , eliptycznym równaniem różniczkowym cząstkowym uzyskany z redukcji idealnych równań MHD do dwóch wymiarów, często dla przypadku toroidalnej symetrii osiowej (przypadek istotny w tokamaku). Biorąc ${\ Displaystyle (r, \ theta, z)}$ jako współrzędne cylindryczne, funkcja strumienia $regulowana$ przez równanie,

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ psi} {\ częściowe r ^ {2}}} - {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowe \ psi}} {\ częściowe r }}+{\frac {\częściowy ^{2}\psi}{\częściowy z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi} }-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},}$$

gdzie jest przepuszczalność magnetyczna , $p (\ psi)}$$Displaystyle$ ciśnieniem , fa $\ Displaystyle F (\ psi) =rB_{\theta }},$ a pole magnetyczne i prąd są odpowiednio określone wzorem

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {B} & = {\ Frac {1} {r}} \ nabla \ psi \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {e}}} _ {\ theta} + { \frac {F}{r}}{\hat {\mathbf {e}}}_{\theta},\\\mu _{0}\mathbf {J} &={\frac {1}{r} }{\frac {dF}{d\psi}}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e}}}_{\theta}-\left[{\frac {\częściowy}}{\częściowy r }}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy \psi}}{\częściowy r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy ^{2}\psi }{\częściowe z^{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e}}}_{\theta}.\end{wyrównane}}}$$

Charakter równowagi, niezależnie od tego, czy będzie to $p (\psi )}$ odwróconego itp., Jest w dużej mierze zdeterminowany wyborami dwóch funkcji i $displaystyle$ oraz warunki brzegowe.

Wyprowadzenie (we współrzędnych kartezjańskich)

Poniżej zakłada się, że system jest dwuwymiarowy z $displaystyle z$ osią, tj. $}$ 0 dla dowolna ilość. Wtedy pole magnetyczne można zapisać we współrzędnych kartezjańskich jako

$$\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe A} {\ częściowe y}}, -{\frac {\częściowy A}{\częściowy x}},B_{z}(x,y)\right),}$$

lub bardziej zwięźle,

$${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla A \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {z}}} + B_ {z} {\ kapelusz {\ mathbf { z} }},}$$

gdzie $. Zauważ,$ potencjałem wektora pola w płaszczyźnie $A$ na podstawie tej postaci dla możemy zobaczyć, że jest stałe wzdłuż dowolnej linii pola magnetycznego, ponieważ jest wszędzie prostopadłe do B . (Należy również zauważyć, że -A jest funkcją strumienia $powyżej$ ).

Dwuwymiarowe, stacjonarne struktury magnetyczne opisuje równowaga sił nacisku i sił magnetycznych, tj.:

$${\ Displaystyle \ nabla p = \ mathbf {j} \ razy \ mathbf {B}}$$

gdzie p to ciśnienie plazmy, a j to prąd elektryczny. Wiadomo, że $prostopadła$ jest stałą wzdłuż dowolnej linii pola (ponownie, ponieważ jest wszędzie do B ) $z$ dwuwymiarowe ( ​​składowa z lewej strony musi wynosić zero, więc -składowa siły magnetycznej po prawej stronie również musi być równa zeru. Oznacza to, że ${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ sprawca} \ razy \ mathbf {B} _ {\ sprawca} = 0}, tj. jot ⊥ {\ Displaystyle \ mathbf {$ j ${\ sprawca} }$ jest równoległy do ${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ perp}}$ .

Prawą stronę poprzedniego równania można rozpatrywać w dwóch częściach:

$${\ Displaystyle \ mathbf {j} \ razy \ mathbf {B} = j_ {z} ({\ kapelusz {\ mathbf {\ mathbf { z} }}\times \mathbf {B_{\sprawa}} )+\mathbf {j_{\sprawa}} \times {\hat {\mathbf {z}}}B_{z},}$$

gdzie indeks $perp}$ oznacza element w płaszczyźnie prostopadłej do ${\ displaystyle \$ . Składnik $jako$ w powyższym równaniu można zapisać jako jednowymiarowy potencjał wektorowy

$${\ Displaystyle j_ {z} = - {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla ^ {2} A.}$$

Pole w płaszczyźnie jest

$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {\ sprawca} = \ nabla A \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {z}}},}$$

a używając równania Maxwella-Ampère'a, prąd w płaszczyźnie jest określony przez

$${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ sprawca} = {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla B_ {z} \ razy {\ kapelusz {\ mathbf {z}}}.}$$

Aby ten wektor był równoległy do $\$ wektor musi być prostopadły do ${\ Displaystyle \ mathbf {B} _$$} \displaystyle$$}$$być$$displaystyle$ p } niezmiennikiem linii pola.

Przestawienie iloczynów krzyżowych powyżej prowadzi do

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {z}}} \ razy \ mathbf {B} _ {\ sprawca} = \ nabla A-(\mathbf {\kapelusz {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\kapelusz {z}} =\nabla A,}$$

I

$${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ sprawca} \ razy B_ {z} \ mathbf {\ kapelusz {z}} = {\ Frac {B_ {z}}} {\ mu _ {0}}} (\ mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

Wyniki te można zastąpić wyrażeniem, aby uzyskać: ${\ displaystyle \ nabla p}$

$${\ Displaystyle \ nabla p = - \ lewo [{\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla ^ {2} A \ prawej] \ nabla A- {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

Ponieważ ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle B_ {z}}$ są stałymi wzdłuż linii pola i działają tylko z ${\ displaystyle A}$ stąd ${\ displaystyle \ nabla p = {\ Frac {dp} {dA}} \ nabla A}$${\ Frac {dB_ {z}} {dA }}\nabla A}$ ZA . Zatem rozłożenie na czynniki i przestawienie terminów daje równanie Grada – Shafranova : ${\ displaystyle \ nabla A}$

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} A = - \ mu _ {0} {\ Frac {d} {dA}} \ lewo (p + {\ Frac {B_ {z} ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}\prawo).}$$

• Grad, H. i Rubin, H. (1958) Równowagi hydromagnetyczne i pola wolne od sił . Obrady 2. Konf. ONZ w sprawie pokojowego wykorzystania energii atomowej, tom. 31, Genewa: MAEA str. 190.
• Shafranov, VD (1966) Równowaga plazmy w polu magnetycznym , Recenzje fizyki plazmy , tom. 2, Nowy Jork: Biuro Konsultantów, s. 103.
• Woods, Leslie C. (2004) Fizyka plazmy , Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, rozdział 2.5.4
• Haverkort, JW (2009) Osiowo-symetryczna idealna równowaga tokamaka MHD . Uwagi dotyczące równania Grada-Szafranowa, wybranych aspektów równania i jego rozwiązań analitycznych.
• Haverkort, JW (2009) Axisymmetric Idealna równowaga MHD z przepływem toroidalnym . Uwzględnienie przepływu toroidalnego, odniesienia do modeli kinetycznych i dwupłynowych oraz omówienie konkretnych rozwiązań analitycznych.