Równanie Kármána-Howartha

W turbulencjach izotropowych równanie Kármána – Howartha (za Theodore von Kármán i Leslie Howarth 1938), które wywodzi się z równań Naviera – Stokesa , jest używane do opisu ewolucji bezwymiarowej autokorelacji podłużnej .

Opis matematyczny

Rozważ dwupunktowy tensor korelacji prędkości dla turbulencji jednorodnej

${\ Displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = {\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {j} (\ mathbf {x} + \ mathbf {r} ,T)}}.}$

W przypadku turbulencji izotropowych ten tensor korelacji można wyrazić za pomocą dwóch funkcji skalarnych, stosując niezmienną teorię grupy pełnej rotacji, po raz pierwszy wyprowadzoną przez Howarda P. Robertsona w 1940 r.,

${\ Displaystyle R_ {ij} (\ mathbf {r}, t) = u' ^ {2} \ lewo \ {[f (r, t)-g(r,t)]{\frac {r_{i}r_{j}}{r^{2}}}+g(r,t)\delta _{ij}\prawo\},\ quad f(r,t)={\frac {R_{11}}{u'^{2}}},\quad g(r,t)={\frac {R_{22}}{u'^{ 2}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle u'}$ jest pierwiastkiem średniej kwadratowej prędkości turbulentnej i ${\ Displaystyle u_ {1}, \ u_ {2}, \ u_ {3}}$ są prędkościami turbulentnymi we wszystkich trzy kierunki. Tutaj $poprzeczną$ korelacją podłużną $i$ korelacją Z równania ciągłości mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe R_ {ij}} {\ częściowe r_{j}}}=0\quad \strzałka w prawo \quad g(r,t)=f(r,t)+{\frac {r}{2}}{\frac {\częściowe }{\częściowe r }}f(r,t)}$

Zatem $_$ _ Theodore von Kármán i Leslie Howarth wyprowadzili równanie ewolucji dla równania Naviera-Stokesa jako ${\ Displaystyle f (r, t)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} (u' ^ {2} f) - {\ Frac {u' ^ {3}} {r ^ {4}}} {\ Frac {\ częściowy }{\częściowy r}}(r^{4}h)={\frac {2\nu u'^{2}}{r^{4}}}{\frac {\częściowy }{\częściowy r }}\left(r^{4}{\frac {\częściowa f}{\częściowa r}}\prawa)}$

gdzie jednoznacznie określa tensor potrójnej korelacji ${\ Displaystyle h (r, t)}$

${\ Displaystyle S_ {ij} = {}{\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r_ {k}}} \ lewo ({\ overline {u_ {i} (\ mathbf {x}, t) u_ {k} (\mathbf {x},t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r},t)}}-{\overline {u_{i}(\mathbf {x},t)u_{ k}(\mathbf {x} +\mathbf {r},t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r},t)}}\right).}$

niezmiennik Łojcjanskiego

LG Loitsianskii wyprowadził całkowy niezmiennik zaniku turbulencji, biorąc czwarty moment równania Kármána-Howartha w 1939 r., tj.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo (u' ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {4} f \ dr \ prawej) = \ lewo [2\nu u'^{2}r^{4}{\frac {\częściowe f}{\częściowe r}}+u'^{3}r^{4}h\right]_{0}^ {\infty}.}$

Jeśli rozpada się szybciej niż $Displaystyle$$-3}}$$\ Displaystyle r \ rightarrow \ infty},$ jako także w tym limicie, jeśli my załóżmy, że znika, mamy ilość, ${\ displaystyle r ^ {4} h}$

${\ Displaystyle \ Lambda = u' ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {4} f \ dr=\mathrm {stała} }$

co jest niezmienne. Lev Landau i Evgeny Lifshitz wykazali, że ten niezmiennik jest równoważny z zachowaniem momentu pędu . Jednak Ian Proudman i WH Reid wykazali, że ten niezmiennik nie zawsze zachodzi, ponieważ lim $\ Displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow \ infty} (r ^ {4} h)}$ ogólne zero przynajmniej w początkowym okresie rozpadu. W 1967 roku Philip Saffman wykazało, że całka ta zależy od warunków początkowych, a całka może być rozbieżna w pewnych warunkach.

Zanik turbulencji

W przypadku przepływów zdominowanych przez lepkość, podczas zaniku turbulencji, równanie Kármána-Howartha redukuje się do równania ciepła po pominięciu tensora potrójnej korelacji, tj.

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} (u' ^ {2} f) = {\ Frac {2 \ nu u' ^ {2}} {r ^ {4}}} {\ frac {\częściowy }{\częściowy r}}\left(r^{4}{\frac {\częściowy f}{\częściowy r}}\right).}$

Przy odpowiednich warunkach brzegowych rozwiązanie powyższego równania jest podane przez

${\ Displaystyle f (r, t) = e ^ {- r ^ {2}/8 \ nu t}, \ quad u' ^ {2} = \ operatorname {stała} \times (\nu t)^{-5/2}}$

aby,

${\ Displaystyle R_ {ij} (r, t) \ sim (\ nu t) ^ {-5/2} e ^ {- r ^ {2}/8 \ nu t}.}$

Zobacz też

• Równanie Kármána – Howartha – Monina ( anizotropowe uogólnienie relacji Kármána – Howartha Andrei Monina )
• Równanie Batchelora – Chandrasekhara (jednorodna turbulencja osiowosymetryczna)
• Równanie Corrsina (relacja Kármána – Howartha dla skalarnego równania transportu)
• Niezmiennik Chandrasekhara (niezmiennik fluktuacji gęstości w izotropowej jednorodnej turbulencji)