Równanie Lugiato-Lefevera

Model zwykle określany jako równanie Lugiato – Lefevera (LLE) został sformułowany w 1987 roku przez Luigiego Lugiato i René Lefevera jako paradygmat spontanicznego tworzenia się wzorów w nieliniowych układach optycznych. Wzorce powstają w wyniku interakcji spójnego pola, które jest wstrzykiwane do rezonansowej wnęki optycznej, z ośrodkiem Kerra wypełniającym wnękę.

To samo równanie reguluje dwa rodzaje wzorów: wzory stacjonarne, które powstają w płaszczyznach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się światła ( wzory poprzeczne ) oraz wzory, które tworzą się w kierunku podłużnym ( wzory podłużne ), przemieszczają się wzdłuż wnęki z prędkością światła w ośrodku i powodują sekwencję impulsów na wyjściu wnęki.

Przypadek wzorów podłużnych jest nierozerwalnie związany ze zjawiskiem „ grzebieni częstotliwości Kerra ” w mikrorezonatorach, odkrytym w 2007 r.

Równanie

$1$ przedstawia wiązkę światła, która rozchodzi się w $kierunku$ $podczas$ i są kierunkami poprzecznymi. Jeśli założymy, że pole elektryczne jako , $}$ mi $\ Displaystyle {\ cal {E}} (x, y, z, t)$ oznacza czas, jest spolaryzowany liniowo i dlatego może być traktowany jako skalar, możemy go wyrazić w postaci powoli zmieniającej się znormalizowanej obwiedni zespolonej mi $\ Displaystyle E (x, y, z, t )}$ w ten sposób

Rysunek 1.

Wiązka

światła rozchodzi się wzdłuż .

{\ displaystyle x}

i

{\ displaystyle y}

to kierunki poprzeczne

{\ Displaystyle {\ cal {E}} (x ,y,z,t)\propto E(x,y,z,t)e^{i(\omega _{0}/{\tylda {c}})(z-{\tylda {c}}t )}+{\text{cc}}}

gdzie $to$ częstotliwość wiązki światła wstrzykiwanej do wnęki i $,$ w ośrodku Kerra który wgłębienie. Dla pewności rozważmy wnękę pierścieniową (ryc. 2) o bardzo wysokiej jakości (wnęka o wysokiej Q).

Ryc. 2. Widok z góry wnęki pierścienia

$,$ że obwiednia jest niezależna od zmiennej podłużnej $że$ ${\ Displaystyle E = E (x, y, t)}$ Jednolita wzdłuż wnęki), tak . Równanie brzmi

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe E} {\ częściowe {\ bar {t}}}} = E _ {\ tekst {w}} -Ei \ theta E + i | E | ^{2}E+i\nabla _{\sprawca }^{2}E}

()

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ sprawca} ^ {2} E = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} E} {\ częściowe {\bar {x}}^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{2}E}{\częściowe {\bar {y}}^{2}}}}

gdzie i $\ Displaystyle {\ bar {x}}}$ $,$ r $}}$ znormalizowanymi zmiennymi czasowymi i przestrzennymi, tj. ${\ Displaystyle {\ bar {t}} = \ kappa t}$ , ${\ Displaystyle {\ bar {x}} = x / \ ell _ {d}}$ , ${\ Displaystyle {\ bar {y}} = y / \ ell _ {d}}$ , przy czym ${$ to szybkość zaniku wnęki lub szerokość linii wnęki, $d}}$ długość dyfrakcji we wnęce. ${\ Displaystyle \ theta = (\ omega _ {c} - \ omega _ {0}) / \ kappa}$ jest parametrem rozstrajania wnęki, przy czym ${\ Displaystyle \ omega _ {c}}$ jest częstotliwością wnęki najbliższą ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$ . Po prawej stronie równania ( 1 ) ${\ displaystyle E _ {\ text {in}}}$ jest znormalizowaną amplitudą pola wejściowego, które jest wstrzykiwane do wnęki, drugie to składnik rozpadu, trzeci to człon rozstrajający, czwarty to sześcienny człon nieliniowy, który uwzględnia ośrodek Kerra, ostatni człon z poprzecznym Laplacianem opisuje dyfrakcję w przybliżeniu przyosiowym ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ perp} ^ {2}}$ . Zakłada się warunki samoogniskowania.

Odnosimy się do równania ( 1 ) jako do poprzecznego LLE. Kilka lat później sformułowano podłużny LLE, w którym dyfrakcję zastąpiono dyspersją. $y}$ przypadku zakłada się, że obwiednia ${\ displaystyle E = E (z, t)}$ niezależna od zmiennych poprzecznych i ${\ displaystyle$ $,$ więc . Podłużny odczyt LLE

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe E} {\ częściowe {\ bar {t}}}} = E _ {\ tekst {w}} -Ei \ teta E + i |E|^{2}E+i{\frac {\częściowy ^{2}E}{\częściowy {\bar {z}}^{2}}}}

()

z ${\ displaystyle {\ bar {z}} = z/a}$ $gdzie$ zależy , w szczególności od parametru dyspersji drugiego Przyjęto warunki dyspersji anomalnej. Ważną kwestią jest to, że po uzyskaniu rozwiązania równania ( 2 ) mi ${\ Displaystyle E ({\ bar {z}}, {\ bar {t}})$ z powrotem do oryginalnych zmiennych ${\ displaystyle z, t}$ i zastąp przez $\$ $Displaystyle z - {\ tylda {c}} t}$ $z}$ tak aby zależne od stacjonarnego rozwiązania (wzór stacjonarny) stało się wzorcem podróżującym z {\ (z prędkością ${\ Displaystyle {\ tylda {c}}}$ ).

Z matematycznego punktu widzenia, LLE sprowadza się do napędzanego, tłumionego, rozstrojonego nieliniowego równania Schroedingera .

Poprzeczny LLE ( 1 ) jest w 2D z przestrzennego punktu widzenia. W konfiguracji falowodu $\$ tylko od jednej zmiennej przestrzennej, powiedzmy $frac {\ częściowy ^ {} 2}E}{\partial {\bar {x}}^{2}}}}$ a poprzeczny laplacian jest zastępowany przez $displaystyle {$ i jeden ma poprzeczny LLE w 1D. Wzdłużny LLE ( 2 ) odpowiada poprzecznemu LLE w 1D.

W niektórych artykułach zajmujących się przypadkiem wzdłużnym rozważa się dyspersję poza drugim rzędem, tak że równanie ( 2 ) obejmuje również wyrazy z pochodnymi rzędu wyższego niż drugi względem ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ .

Jednolite rozwiązania stacjonarne. Połączenie z bistabilnością optyczną . Mieszanie czterofalowe i tworzenie wzorów .

Rysunek 3. Krzywa stacjonarna znormalizowanego natężenia wyjściowego

{\ Displaystyle | E|^ {2}}

jako funkcja znormalizowanej intensywności wejściowej

{\ Displaystyle | E _ {\ tekst {w}} | ^ {2}}

dla

{\ Displaystyle \ theta = 4}

. Stany stacjonarne w segmencie o ujemnym nachyleniu są niestabilne. Strzałki pokazują cykl histerezy, który jest pokryty, gdy

{\ Displaystyle | E _ {\ tekst {w}} | ^ {2}}

jest zwiększany, a następnie zmniejszany.

Skupmy się na przypadku, w którym obwiednia $jest$ , czyli na rozwiązaniach stacjonarnych, które są niezależne od wszystkich zmiennych przestrzennych. Porzucając wszystkie pochodne w równaniach ( 1 ) i ( 2 ) i biorąc podniesiony do kwadratu moduł , otrzymujemy równanie stacjonarne

{\ Displaystyle | E _ {\ tekst {w}} | ^ {2} = | E | ^ {2} \ lewo \ {1 + (\ teta - | E|^{2})^{2}\prawo\}}

()

Jeśli wykreślimy krzywą stacjonarną ${\ Displaystyle | E | ^ {2}}$ jako funkcja ${\ Displaystyle | E _ {\ text {in}} | ^ {2}}$ , kiedy otrzymujemy krzywą pokazaną na ryc. 3. ${\ displaystyle \ theta > {\ sqrt {3}}}$

Krzywa ma $i$ istnieje przedział wartości $.$ jeden ma trzy stany stacjonarne Jednak stany leżące w segmencie o ujemnym nachyleniu są niestabilne, tak że w przedziale występują dwa współistniejące stabilne stany stacjonarne: zjawisko to nazywane jest bistabilnością optyczną . Jeśli intensywność wejściowa ${\ Displaystyle | E _ {\ tekst {w}} | ^ {2}}$ jest zwiększana, a następnie zmniejszana, obejmuje cykl histerezy.

Jeśli odniesiemy się do modów pustej wnęki, w przypadku jednorodnych rozwiązań stacjonarnych opisanych równaniem ( 3 ) pole elektryczne jest jednomodowe, odpowiadające modowi częstotliwości . ${\ displaystyle \ omega _ {c}}$ quasi-rezonansowy z częstotliwością wejściową ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ .

W konfiguracji poprzecznej równania ( 1 ), w przypadku tych rozwiązań stacjonarnych E odpowiada jednomodowej fali płaskiej mi $\ Displaystyle e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y}}}$ gdzie ${\ Displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle k_ {x}}$ i ${\ Displaystyle k_ { y}}$ gdzie są składowymi poprzecznymi wektora falowego, dokładnie tak, jak pole wejściowe ${\ displaystyle E _ {\ text {in}}}$ .

Sześcienna nieliniowość Kerra równań ( 1 ) i ( 2 ) powoduje mieszanie czterofalowe (FWM), które może generować inne tryby, tak że obwiednia $mi$ wzór przestrzenny: w płaszczyźnie poprzecznej w przypadku równania ( 1 ), wzdłuż zagłębienia w przypadku równania ( 2 ).

Wzory poprzeczne i solitony wnękowe

W poprzecznym przypadku równania ( 1 ) wzór powstaje z wzajemnego oddziaływania FWM i dyfrakcji. FWM może dać początek $.$ przykład procesom, w których pary fotonów z emituje pary fotonów ${\ Displaystyle k_ {x} = {\ bar {k}} _ {x}}$ , k $\ Displaystyle k_ {y} = 0}$ i ${\ Displaystyle k_ {x} = - {\ bar {k}} _ {x}}$ , ${\ Displaystyle k_ {y} = 0}$ w taki sposób, że całkowita energia fotonów i ich całkowity pęd jest zachowany (rys. 4).

Rysunek 4. Czterofalowy proces mieszania, w którym absorbowane są dwa fotony z

{\ Displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0} i dwa fotony z

{\ Displaystyle k_ {x} = {\ bar {k}} _ {x}, k_ {y} = 0}

i

{\ Displaystyle k_ {x} = - { \bar {k}}_{x},k_{y}=0}

są emitowane.

są

_

wektorów falowych

_

_

W rzeczywistości w grę wchodzą dalsze procesy FWM, tak że $sześciokątnego$ wzoru (patrz ryc.

Rysunek 5. Typowa konfiguracja wzoru, która pojawia się w płaszczyznach poprzecznych na wyjściu, to wzór sześciokątny.

Wzór wyświetla uporządkowaną tablicę pików intensywności. Możliwe jest również generowanie izolowanych pików intensywności, które nazywane są solitonami wnękowymi (patrz rys. 6). Ponieważ solitony wnękowe można „zapisywać” i „wymazywać” jeden po drugim w płaszczyźnie poprzecznej, jak na tablicy, są one bardzo interesujące w zastosowaniach w optycznym przetwarzaniu informacji i telekomunikacji.

Ryc. 6. Typowy soliton wnęki Kerra w płaszczyźnie poprzecznej z jasnym pikiem na ciemnym tle z pierścieniami dyfrakcyjnymi.

Wzorce podłużne i solitony wnękowe

W podłużnym przypadku równania ( 2 ) wzorce wynikają z wzajemnego oddziaływania między FWM a dyspersją. FWM może prowadzić na przykład $,$ w których pary fotonów trybu podłużnego quasi-rezonansowego z są absorbowane, a jednocześnie system emituje pary fotonów odpowiadające modom wnękowym symetrycznie przylegające do modu quasi-rezonansowego, w taki sposób, że całkowita energia fotonu, jak również całkowity wzdłużny pęd fotonu są zachowane.

Rysunek 7. Przykład podłużnego wzoru, który przemieszcza się wzdłuż wnęki z prędkością światła w ośrodku i powoduje powstanie okresowej sekwencji impulsów na wyjściu.

Figura 7 przedstawia przykład wzorów, które są generowane i przemieszczają się wzdłuż wnęki i na zewnątrz wnęki. Podobnie jak w przypadku poprzecznym, również w konfiguracji podłużnej można wygenerować pojedyncze lub wielokrotne solitony wnękowe Kerra; Rycina 8 ilustruje przypadek pojedynczego solitonu wnękowego, który krąży we wnęce i wytwarza sekwencję wąskich impulsów na wyjściu. Takie solitony zaobserwowano po raz pierwszy we wnęce światłowodu.

Rysunek 8. Podłużne solitony wnęki Kerra.

Należy zauważyć, że niestabilność, która pochodzi z podłużnych wzorów i solitonów wnękowych w LLE, jest szczególnym przypadkiem wielomodowej niestabilności bistabilności optycznej, przewidzianej przez Bonifacio i Lugiato w i po raz pierwszy zaobserwowanej eksperymentalnie w.

Mikrorezonator Grzebienie częstotliwości Kerra i solitony wnękowe

Optyczne grzebienie częstotliwości stanowią równoodległy zestaw częstotliwości lasera, który można wykorzystać do zliczania cykli światła. Ta technika, wprowadzona przez Theodora Haenscha i Johna Halla przy użyciu laserów z synchronizacją modów , doprowadziła do niezliczonych zastosowań. Prace zademonstrowały realizację szerokopasmowych grzebieni częstotliwości optycznych wykorzystujących tryby galerii szeptanej aktywowane przez pole lasera CW wstrzyknięte do mikrorezonatora o wysokiej Q wypełnionego ośrodkiem Kerra, który powoduje FWM. Od tego czasu grzebienie częstotliwości Kerra (KFC), których szerokość pasma może przekraczać oktawę przy częstotliwościach powtarzania w zakresie częstotliwości mikrofalowych do THz, zostały wygenerowane w wielu różnych mikrorezonatorach; recenzje na ten temat można znaleźć np. Oferują znaczny potencjał miniaturyzacji i integracji fotonicznej w skali chipa, a także redukcji mocy. Obecnie generowanie KFC jest dojrzałą dziedziną, a technologia ta została zastosowana w kilku obszarach, w tym w telekomunikacji koherentnej, spektroskopii, zegarach atomowych, a także w dalmierzach laserowych i kalibracji spektrometrów astrofizycznych.

Kluczowym impulsem do tych zmian była realizacja solitonów wnękowych Kerra w mikrorezonatorach, otwierająca możliwość wykorzystania solitonów wnękowych Kerra w zintegrowanych mikrorezonatorach fotonicznych.

Podłużny LLE ( 2 ) dostarcza czasoprzestrzennego obrazu zaangażowanych zjawisk, ale z punktu widzenia spektralnego jego rozwiązania odpowiadają KFC. Związek między optycznym KFC a LLE został teoretycznie rozwinięty w. Autorzy ci wykazali, że LLE (lub uogólnienia obejmujące terminy dyspersji wyższego rzędu) jest modelem opisującym generowanie KFC i jest w stanie przewidzieć ich właściwości, gdy system parametry są zróżnicowane. Spontaniczne tworzenie się wzorów przestrzennych i solitonów przemieszczających się wzdłuż wnęki opisanej przez LLE jest czasoprzestrzennym odpowiednikiem grzebieni częstotliwości i reguluje ich cechy. Dość wyidealizowane warunki przyjęte przy formułowaniu LLE, zwłaszcza warunek wysokiej Q, zostały doskonale zmaterializowane przez spektakularny postęp technologiczny, jaki dokonał się w międzyczasie w dziedzinie fotoniki i doprowadził w szczególności do odkrycia KFC.

Aspekty kwantowe

Dwa fotony, które, jak pokazano na rys. 4, są emitowane w symetrycznie nachylonych kierunkach w procesie FWM, znajdują się w stanie splątania kwantowego : są dokładnie skorelowane, na przykład w energii i pędzie. Fakt ten ma fundamentalne znaczenie dla kwantowych aspektów wzorców optycznych. Na przykład różnica między intensywnościami dwóch symetrycznych wiązek jest ściśnięta, tj. wykazuje fluktuacje poniżej poziomu szumu wystrzału; podłużny analog tego zjawiska zaobserwowano eksperymentalnie w KFC. Z kolei takie aspekty kwantowe są podstawowe dla dziedziny obrazowania kwantowego .

Przejrzyj artykuły

Aby zapoznać się z recenzjami na temat LLE, zobacz także.

Zobacz też