Równanie stanu Mie-Grüneisena

Równanie stanu Mie-Grüneisena jest równaniem stanu , które wiąże ciśnienie i objętość ciała stałego w danej temperaturze. Służy do wyznaczania ciśnienia w ciele stałym ściskanym uderzeniowo. Relacja Mie – Grüneisen jest specjalną postacią modelu Grüneisena , który opisuje wpływ zmiany objętości sieci krystalicznej na jej właściwości wibracyjne. W użyciu jest kilka odmian równania stanu Mie-Grüneisena.

Model Grüneisen można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle \ Gamma = V \ lewo ({\ Frac {dp} {de}} \ prawej) _ {V}}$

gdzie V to objętość, p to ciśnienie, e to energia wewnętrzna , a Γ to parametr Grüneisena, który reprezentuje ciśnienie termiczne zestawu wibrujących atomów. Jeśli założymy, że Γ jest niezależne od p i e , możemy scałkować model Grüneisena, aby otrzymać

${\ Displaystyle pp_ {0} = {\ Frac {\ Gamma} {V}} (ee_ {0})}$

₀₀ gdzie i są $wynosi$ i energią wewnętrzną w stanie odniesienia, zwykle przyjmowanym jako stan, w którym temperatura $0K$ W takim przypadku p i e są niezależne od temperatury, a wartości tych wielkości można oszacować z równań Hugoniota . Równanie stanu Mie-Grüneisena jest szczególną postacią powyższego równania.

Historia

Gustav Mie w 1903 roku opracował potencjał międzycząsteczkowy do wyprowadzania wysokotemperaturowych równań stanu ciał stałych. W 1912 roku Eduard Grüneisen rozszerzył model Mie na temperatury poniżej temperatury Debye'a , w której efekty kwantowe stają się ważne. Postać równań Grüneisena jest wygodniejsza i stała się zwykłym punktem wyjścia do wyprowadzenia równań stanu Mie-Grüneisena.

Wyrażenia dla równania stanu Mie-Grüneisena

Wersja z korekcją temperatury, która jest używana w mechanice obliczeniowej, ma postać

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi \ lewo [1- {\ Frac {\ Gamma _ {0}} {2 }}\,\chi \right]}{\left(1-s\chi \right)^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \chi:=1-{\cfrac {\ rho _{0}}{\rho }}}$

gdzie jest masową prędkością dźwięku, $jest$$rho}$$jest$ , gęstością prądu, $Gamma _ {0}}$${ \ displaystyle$$Displaystyle$ w stanie odniesienia, Hugoniota $Nas}}$$\$$jest$$jest$ prędkością fali uderzeniowej, cząstek, a energią wewnętrzną na jednostkę objętości odniesienia. Alternatywną formą jest

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} (\ eta -1) \ lewo [\ eta - {\ Frac {\ Gamma _ {0}} {2}} (\eta -1)\right]}{\left[\eta -s(\eta -1)\right]^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \eta :={\ cfrac {\rho }{\rho _{0}}}\,.}$

Zgrubne oszacowanie energii wewnętrznej można obliczyć za pomocą

$\ Displaystyle E = {\ Frac {1} {V_ {0}}} \ int C_ {v }dT\około {\frac {C_{v}(T-T_{0})}{V_{0}}}=\rho _{0}c_{v}(T-T_{0})}$

gdzie ${\ Displaystyle V_ {0}}$ to objętość odniesienia w temperaturze ${\ Displaystyle T = T_ {0}}$ , ${\ Displaystyle C_ {v}}$ to pojemność cieplna i ${\ displaystyle c_{v}}$ to ciepło właściwe przy stałej objętości. $W$ wielu symulacjach zakłada $,$ że równe

Parametry dla różnych materiałów

materiał	${\ Displaystyle \ rho _ {0}}$ (kg / m 3 )	${\ displaystyle c_ {v}}$ (J / kg-K)	${\ Displaystyle C_ {0}}$ (m / s)	${\ displaystyle s}$	${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}}$ ( ${\ Displaystyle T <T_ {1}}$ )	${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}}$ ( ${\ Displaystyle T> = T_ {1}}$ )	${\ Displaystyle T_ {1}}$ (K)
Miedź	8960	390	3933	1.5	1,99	2.12	700

Wyprowadzenie równania stanu

Z modelu Grüneisena mamy

${\ Displaystyle pp_ {0} = {\ Frac {\ Gamma} {V}} (ee_ {0})}$

 

 

 

 

()

gdzie i są $.$$energią$ w stanie odniesienia Równania Hugoniota dotyczące zachowania masy, pędu i energii to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho _ {0} U_ {s} & = \ rho (U_ {s} -U_ {p}) \ ,, \\ [1ex] p_ {H} -p_ {H0 }&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\ frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{wyrównane}}}$

₀ gdzie ρ to gęstość odniesienia, ρ to gęstość spowodowana ściskaniem uderzeniowym, p _H to ciśnienie działające na Hugoniota, E _H to energia wewnętrzna na jednostkę masy Hugoniota, U _s to prędkość uderzenia, a U _p to Prędkość cząstek. Z zasady zachowania masy mamy

${\ Displaystyle {\ Frac {U_ {p}} {U_ {s}}} = 1- {\ Frac {\ rho _ {0}} {\ rho}} = 1 - {\ Frac {V} {V_ { 0}}}=:\chi \,.}$

$.$ zdefiniowaliśmy (objętość na jednostkę

₀ Dla wielu materiałów U _s i U _p są liniowo powiązane, tj. ₀ U _s = C + s U _p , gdzie C i s zależą od materiału. W takim przypadku mamy

${\ Displaystyle U_ {s} = C_ {0} + s \ chi U_ {s} \ quad {\ tekst {lub}} \ quad U_ {s} = {\ Frac {C_ {0}} {1-s \ chi}}\,.}$

Równanie pędu można zatem zapisać (dla głównego Hugoniota, gdzie p _H0 wynosi zero) jako

${\ Displaystyle p_ {H} = \ rho _ {0} \ chi U_ {s} ^ {2} = {\ Frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi } {(1- s\chi )^{2}}}\,.}$

Podobnie z równania energii mamy

${\ Displaystyle p_ {H} \ chi U_ {s} = {\ tfrac {1} {2}} \ rho \ chi ^ {2} U_ {s} ^ {3} + \ rho _ {0} U_ {s }E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,.}$

Rozwiązanie dla e _H , mamy

${\ Displaystyle E_ {H} = {\ tfrac {1} {2}} {\ Frac {p_ {H} \ chi} {\ rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)}$

Z tymi wyrażeniami na pH i E _H model Grüneisen na Hugoniot staje _się

${\ Displaystyle p_ {H} -p_ {0} = {\ Frac {\ Gamma} {V}} \ lewo ({\ Frac {p_ {H} \ chi V_ {0}} {2}} -e_ {0 }\right)\quad {\text{lub}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi)^{2}}} \left(1-{\frac {\chi}}{2}}\,{\frac {\Gamma}}{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\ Gamma }{V}}e_{0}\,.}$

Jeśli założymy, że ₀ Γ/ V = ​​Γ / V ₀ i zauważymy, że ${\ Displaystyle p_ {0} = -de_ {0}/dV}$ , otrzymamy

${\ Displaystyle {\ Frac {\ rho C_ {0} ^ {2} \ chi} {(1-s \ chi) ^ {2}}} \ lewo (1- {\ Frac {\ Gamma _ {0} \ chi }{2}}\right)+{\frac {de_{0}}{dV}}+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}e_{0}=0\, .}$

 

 

 

 

()

₀₀₀ Powyższe równanie różniczkowe zwyczajne można rozwiązać dla e z warunkiem początkowym e = 0, gdy V = V ( χ = 0). Dokładne rozwiązanie to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e_ {0} = {\ Frac {\ rho C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2s ^ {4}}} {\ Biggl [} i \ exp ( \Gamma _{0}\chi )\left({\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\ Gamma _{0}}{s}}-(3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\ Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right )\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[ {\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{wyrównane}}}$

₀ gdzie Ei[ z ] jest całką wykładniczą . Wyrażenie dla p to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p_ {0} = - {\ Frac {de_ {0}} {dV}} = {\ Frac {\ rho C_ {0} ^ {2}} {2s ^ {4} (1-\chi)}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi)^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2} (1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0 }-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0 }}{s}}(1-s\chi )\right]\left[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\right]\left(\Gamma _{0}^{2}- 4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\ chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,.\end{aligned} }}$

₀₀ Wykresy e i p dla miedzi jako funkcji χ .

W przypadku często spotykanych problemów z kompresją przybliżeniem dokładnego rozwiązania jest rozwiązanie postaci w postaci szeregu potęgowego

${\ Displaystyle e_ {0} (V) = A + B \ chi (V) + C \ chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots }$

I

${\ Displaystyle p_ {0} (V) = - {\ Frac {de_ {0}} {dV}} = - {\ Frac {de_ {0}} {d \ chi}} \, {\ Frac {d \ chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,.}$

Podstawienie do modelu Grüneisena daje nam równanie stanu Mie-Grüneisena

${\ Displaystyle p = {\ Frac {1} {V_ {0}}} \, (B + 2C \ chi + 3D \ chi ^ {2} + \ cdots) + {\ Frac {\ Gamma _ {0}} {V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,.}$

₀₀₀₀ Jeśli założymy, że energia wewnętrzna e = 0, gdy V = V ( χ = 0 ), mamy A = 0. Podobnie, jeśli założymy, że p = 0, gdy V = V , mamy B = 0. Równanie stanu Mie-Grüneisena można wtedy zapisać jako

${\ Displaystyle p = {\ Frac {1} {V_ {0}} }\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\ Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E}$

gdzie E jest energią wewnętrzną na jednostkę objętości odniesienia. Możliwych jest kilka postaci tego równania stanu.

Porównanie dokładnego i pierwszego rzędu równania stanu Mie-Grüneisena dla miedzi.

Jeśli weźmiemy wyraz pierwszego rzędu i podstawimy go do równania ( 2 ), możemy znaleźć C

${\ Displaystyle C = {\ Frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} V_ {0}} {2 (1-s \ chi) ^ {2}}} \,.}$

Następnie otrzymujemy następujące wyrażenie dla p :

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ rho _ {0} C_ {0} ^ {2} \ chi {(1-s \ chi) ^ {2}}} \ lewo (1- {\ tfrac {\ Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,.}$

Jest to powszechnie stosowane równanie stanu Mie-Grüneisena pierwszego rzędu.

Zobacz też

• Uderzenie (mechanika)
• Fala uderzeniowa
• Wstrząs (mechanika)
• Rurka uderzeniowa
• Wstrząs hydrostatyczny
• Wiskoplastyczność