Redescencyjny M-estymator

W statystyce redescencyjne M-estymatory to M-estymatory typu Ψ , które mają funkcje ψ , które nie maleją w pobliżu początku, ale maleją w kierunku 0 daleko od początku. Ich ψ można wybrać tak, aby płynnie opadały do zera, tak że zwykle spełniają ψ ( x ) = 0 dla wszystkich x z | x | > r , gdzie r jest określane jako minimalny punkt odrzucenia.

Ze względu na te właściwości funkcji ψ tego rodzaju estymatory są bardzo wydajne, mają wysoki punkt załamania i, w przeciwieństwie do innych technik odrzucania wartości odstających, nie cierpią z powodu efektu maskowania. Są wydajne, ponieważ całkowicie odrzucają grube wartości odstające i nie ignorują całkowicie umiarkowanie dużych wartości odstających (takich jak mediana).

Zalety

Redescencyjne estymatory M mają wysokie punkty załamania (bliskie 0,5), a ich funkcję Ψ można wybrać tak, aby płynnie opadała do 0. Oznacza to, że umiarkowanie duże wartości odstające nie są całkowicie ignorowane i znacznie poprawia efektywność estymatora M redescending.

Redescencyjne M-estymatory są nieco bardziej wydajne niż estymator Hubera dla kilku symetrycznych rozkładów z szerszym ogonem, ale około 20% bardziej wydajne niż estymator Hubera dla rozkładu Cauchy'ego . Dzieje się tak, ponieważ całkowicie odrzucają grube wartości odstające, podczas gdy estymator Hubera skutecznie traktuje je tak samo, jak umiarkowane wartości odstające.

Podobnie jak inne estymatory M, ale w przeciwieństwie do innych technik odrzucania wartości odstających, nie cierpią z powodu efektu maskowania.

Niedogodności

Równanie szacowania M dla estymatora malejącego może nie mieć unikalnego rozwiązania. W związku z tym punkt początkowy rozwiązania iteracyjnego należy wybrać ostrożnie, np. za pomocą innego estymatora.

Wybór redescencji funkcji Ψ

Wybierając funkcję redescendującą Ψ należy uważać, aby nie opadała ona zbyt stromo, co może mieć bardzo zły wpływ na mianownik w wyrażeniu na wariancję asymptotyczną

{\ Displaystyle {\ Frac {\ int \ Psi ^ {2} \ dF} {(\ int \ psi '\, dF) ^ {2}}}}

gdzie F jest rozkładem modelu mieszaniny.

Efekt ten jest szczególnie szkodliwy, gdy duża ujemna wartość ψ ′( x ) łączy się z dużą dodatnią wartością ψ ² ( x ), aw pobliżu x występuje skupisko wartości odstających .

Przykłady

1. Trzyczęściowe estymatory Hampela mają funkcje Ψ , które są funkcjami nieparzystymi i są określone dla dowolnego x przez:

{\ Displaystyle \ Psi (x) = {\ rozpocząć {przypadki} x, & 0 \ równoważnik | x | \ równoważnik a {\ tekst {(środkowy segment)}} \\ a \, \ nazwa operatora { znak} (x),&a\leq |x|\leq b{\text{ (wysokie i niskie płaskie segmenty)}}\\{\frac {a(r-|x|)}{rb}}\,\ operatorname {znak} (x),&b\leq |x|\leq r{\text{ (skoki końcowe)}}\\0,&r\leq |x|\qquad \,{\text{(lewe i prawe ogony )}}\end{przypadki}}}

Ta funkcja jest przedstawiona na poniższym rysunku dla a = 1,645, b = 3 i r = 6,5.

2. Dwuważne lub biskwadratowe estymatory Tukeya mają funkcje Ψ dla dowolnego dodatniego k , które jest określone przez:

{\ Displaystyle \ Psi (x) = x (1- (x / k) ^ {2}) ^ {2}; \ | x | \ równoważnik k}

Ta funkcja jest przedstawiona na poniższym rysunku dla k = 5.

3. M estymator sinusoidy Andrewsa ma następującą funkcję Ψ:

{\ Displaystyle \ Psi (x) = \ grzech {(x)}; \ - \ pi \ równoważnik x \ równoważnik \ pi}

Ta funkcja jest przedstawiona na poniższym rysunku.

Redescending M-estymatory , Shevlyakov, G, Morgenthaler, S i Shurygin, AM, J Stat Plann Inference 138: 2906–2917, 2008.
Solidne szacowanie i testowanie , Robert G. Staudte i Simon J. Sheather, Wiley 1990.
Solidne statystyki , Huber, P., Nowy Jork: Wiley, 1981.

Zobacz też