Relacje ortogonalności Schura

W matematyce relacje ortogonalności Schura , które zostały udowodnione przez Issai Schura za pomocą lematu Schura , wyrażają centralny fakt dotyczący reprezentacji grup skończonych . Dopuszczają uogólnienie na przypadek grup zwartych w ogóle, aw szczególności zwartych grup Liego , takich jak grupa rotacyjna SO(3) .

Grupy skończone

Wewnętrzne stwierdzenie

Przestrzeń funkcji klas o wartościach zespolonych skończonej grupy G ma naturalny iloczyn wewnętrzny :

gdzie oznacza złożony koniugat wartości na g . W odniesieniu do tego iloczynu wewnętrznego znaki nieredukowalne tworzą bazę ortonormalną dla przestrzeni funkcji klasowych, co daje relację ortogonalności dla wierszy tablicy znaków:

Dla , zastosowanie tego samego iloczynu wewnętrznego do kolumn tabeli znaków daje:

gdzie obejmuje wszystkie nieredukowalne G i oznacza kolejność centralizatora sol { . Zauważ, że ponieważ g i h są sprzężone, jeśli znajdują się w tej samej kolumnie tablicy znaków, oznacza to, że kolumny tablicy znaków są ortogonalne.

Relacje ortogonalności mogą pomóc w wielu obliczeniach, w tym:

  • dekompozycja nieznanej postaci jako liniowej kombinacji nieredukowalnych postaci;
  • konstruowanie pełnej tablicy znaków, gdy znane są tylko niektóre z nieredukowalnych znaków;
  • znalezienie rozkazów centralizatorów przedstawicieli klas koniugacyjnych grupy; I
  • ustalenie kolejności w grupie.

Oświadczenie o współrzędnych

Niech będzie elementem macierzowym nieredukowalnej reprezentacji macierzowej skończonej grupy rzędu | G |, czyli G ma | G | elementy. Ponieważ można udowodnić, że dowolna macierzowa reprezentacja dowolnej grupy skończonej jest równoważna reprezentacji unitarnej , zakładamy, że jest jednostkowa:

gdzie (skończonym) wymiarem nieredukowalnej reprezentacji .

Relacje ortogonalności , ważne tylko dla elementów macierzowych reprezentacji nieredukowalnych , to:

Tutaj jest złożonym koniugatem a suma obejmuje wszystkie elementy G . Delta Kroneckera jest jednością, jeśli macierze są w tej samej nieredukowalnej reprezentacji . Jeśli nie _ Pozostałe dwie delty Kroneckera stwierdzają, że indeksy wierszy i kolumn muszą być równe ( i ) w celu uzyskania niezanikającego wyniku. Twierdzenie to jest również znane jako twierdzenie o wielkiej (lub wielkiej) ortogonalności.

Każda grupa ma reprezentację tożsamości (wszystkie elementy grupy są odwzorowane na liczbę rzeczywistą 1). Jest to nieredukowalna reprezentacja. Relacje wielkiej ortogonalności natychmiast to sugerują

dla i wszelkie nieredukowalne reprezentacje nie równa reprezentacji tożsamości.

Przykład grupy permutacji na 3 obiektach

3! permutacje trzech obiektów tworzą grupę rzędu 6, powszechnie oznaczaną jako S 3 ( grupa symetryczna ). Ta grupa izomorficzna z grupą punktów , składającą z potrójnej osi obrotu i trzech pionowych płaszczyzn Grupy mają dwuwymiarową nieredukowalną reprezentację ( l = 2). W przypadku S 3 reprezentację tę zwykle oznacza się tablicą Younga zwykle pisze się . W obu przypadkach reprezentacja składa się z następujących sześciu rzeczywistych macierzy, z których każda reprezentuje pojedynczy element grupowy:

Normalizacja elementu (1,1):

W ten sam sposób można pokazać normalizację pozostałych elementów macierzy: (2,2), (1,2) i (2,1). Ortogonalność elementów (1,1) i (2,2):

Podobne relacje zachodzą dla ortogonalności elementów (1,1) i (1,2) itd. W przykładzie można łatwo zweryfikować, że wszystkie sumy odpowiednich elementów macierzy znikają z powodu ortogonalności danej reprezentacji nieredukowalnej do reprezentacji tożsamości .

Implikacje bezpośrednie

Ślad macierzy jest sumą diagonalnych elementów macierzy,

Zbiór śladów to znak _ Często pisze się o ślad macierzy w nieredukowalnej reprezentacji ze znakiem

W tej notacji możemy zapisać kilka formuł znakowych:

co pozwala nam sprawdzić, czy reprezentacja jest nieredukowalna. (Formuła oznacza, że ​​linie w dowolnej tablicy znaków muszą być wektorami ortogonalnymi.) I

określić, jak często nieredukowalna reprezentacja jest zawarta w redukowalnej reprezentacji ze znakiem .

Na przykład, jeśli

a kolejność w grupie jest

jest zawarty w danej redukowalnej reprezentacji Γ ( λ ) {\ Displaystyle \ Gamma \,} wynosi

Zobacz Teoria postaci , aby uzyskać więcej informacji o postaciach grupowych.

Kompaktowe grupy

Uogólnienie relacji ortogonalności z grup skończonych na grupy zwarte (które obejmują zwarte grupy Liego, takie jak SO(3)) jest zasadniczo proste: Zastąp sumowanie po grupie całkowaniem po grupie.

Każda zwarta grupa unikalną dwu-niezmienną miarę Haara tak że objętość grupy wynosi 1. Oznacz tę miarę przez . Niech zbiorem i macierzowym współczynnikiem reprezentacji . Relacje ortogonalności można zatem podzielić na dwie części:

1) Jeśli to

2) Jeśli jest ortonormalną podstawą przestrzeni reprezentacji to

gdzie jest wymiarem . Te relacje ortogonalności i fakt, że wszystkie reprezentacje mają skończone wymiary, są konsekwencjami twierdzenia Petera-Weyla .

Przykład SO(3)

Przykładem grupy parametrów r = 3 jest grupa macierzy SO(3) składająca się ze wszystkich macierzy ortogonalnych 3 x 3 z wyznacznikami jednostkowymi. Możliwa parametryzacja tej grupy dotyczy kątów Eulera: (patrz np. jawna postać elementu SO(3) pod względem kątów Eulera). Granice to i .

Nie tylko przepis na obliczenie elementu objętości zależy od wybranych parametrów, ale także od wyniku końcowego, czyli analitycznej postaci funkcji wagi (miara) .

Na przykład parametryzacja kąta Eulera SO (3) daje wagę natomiast parametryzacja n, ψ daje wagę z

Można wykazać, że nieredukowalne reprezentacje macierzowe zwartych grup Liego są skończone i można je wybrać jako jednolite:

Z zapisem skróconym

relacje ortogonalności przybierają postać

z objętością grupy:

Jako przykład zauważamy, że nieredukowalnymi reprezentacjami SO (3) są macierze D Wignera re , które mają wymiar . Od

oni satysfakcjonują

Notatki

Każda książka o teorii grup zorientowana fizycznie lub chemicznie wspomina o stosunkach ortogonalności. Następujące bardziej zaawansowane książki dostarczają dowodów:

  • M. Hamermesh, Teoria grup i jej zastosowania do problemów fizycznych , Addison-Wesley, Reading (1962). (Przedrukowany przez Dovera).
  • W. Miller, Jr., Grupy symetrii i ich zastosowania , Academic Press, Nowy Jork (1972).
  • JF Cornwell, Group Theory in Physics (trzy tomy), tom 1, Academic Press, New York (1997).

Następujące książki zawierają bardziej matematyczne metody leczenia:

  •     Serre, Jean-Pierre (1977). Reprezentacje liniowe grup skończonych . Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 13-20 . ISBN 0387901906 . ISSN 0072-5285 . OCLC 2202385 .
  •    Sengupta, Ambar N. (2012). Reprezentowanie grup skończonych, półproste wprowadzenie . Skoczek. ISBN 978-1-4614-1232-8 . OCLC 875741967 .