Reuleaux czworościan

Animacja czworościanu Reuleaux, pokazująca również czworościan, z którego jest utworzony.

Cztery kule przecinają się, tworząc czworościan Reuleaux.

Reuleaux czworościan

Czworościan Reuleaux jest przecięciem czterech kul o promieniu s wyśrodkowanych w wierzchołkach czworościanu foremnego o boku długości s . Sferyczna powierzchnia kuli wyśrodkowana w każdym wierzchołku przechodzi przez pozostałe trzy wierzchołki, które również tworzą wierzchołki czworościanu Reuleaux. W ten sposób środek każdej kuli znajduje się na powierzchniach pozostałych trzech kul. Czworościan Reuleaux ma taką samą strukturę ściany jak regularny czworościan, ale z zakrzywionymi ścianami: czterema wierzchołkami i czterema zakrzywionymi ścianami, połączonymi sześcioma krawędziami łukowymi.

Kształt ten jest zdefiniowany i nazwany przez analogię do trójkąta Reuleaux , dwuwymiarowej krzywej o stałej szerokości ; oba kształty zostały nazwane na cześć Franza Reuleaux , dziewiętnastowiecznego niemieckiego inżyniera, który wykonał pionierską pracę nad sposobami, w jakie maszyny przekształcają jeden rodzaj ruchu w inny. W literaturze matematycznej można znaleźć powtarzające się twierdzenia, że ​​czworościan Reuleaux jest analogicznie powierzchnią o stałej szerokości , ale nie jest to prawdą: dwa punkty środkowe przeciwległych łuków krawędzi są oddzielone większą odległością,

${\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {3}} - {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}} \ prawej) \ cdot s \ około 1,0249 s.}$

Objętość i powierzchnia

Objętość czworościanu Reuleaux wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {s ^ {3}} {12}} (3 {\ sqrt {2}} -49 \ pi + 162 \ tan ^ {-1} {\ sqrt {2}} \; \! )={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{ \sqrt {2}}\right)\około 0,422s^{3}.}$

Powierzchnia jest _

${\ Displaystyle \ lewo [8 \ pi -18 \ cos ^ {-1} \ lewo ({\ tfrac {1} {3}} \ prawo) \ prawo] s ^ {2} \ około 2,975 s ^ {2} .}$

korpusy Meissnera

Ernst Meissner i Friedrich Schilling pokazali, jak zmodyfikować czworościan Reuleaux, aby utworzyć powierzchnię o stałej szerokości , zastępując trzy łuki krawędziowe zakrzywionymi łatami utworzonymi jako powierzchnie obrotowe łuku kołowego. Zgodnie z tym, że trzy łuki krawędziowe zostaną zastąpione (trzy, które mają wspólny wierzchołek lub trzy, które tworzą trójkąt), powstają dwa nieprzystające kształty, które czasami nazywane są ciałami Meissnera lub czworościanami Meissnera .

Nierozwiązany problem z matematyki :

Czy dwa czworościany Meissnera to trójwymiarowe kształty o minimalnej objętości i stałej szerokości?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Bonnesen i Fenchel przypuszczali, że czworościany Meissnera to trójwymiarowe kształty o minimalnej objętości i stałej szerokości, przypuszczenie, które jest nadal otwarte. W związku z tym problemem Campi, Colesanti i Gronchi wykazali, że minimalną objętościową powierzchnią obrotu o stałej szerokości jest powierzchnia obrotu trójkąta Reuleaux przez jedną z jego osi symetrii.

Jeden z obrazów Mana Raya , Hamlet , był oparty na wykonanej przez niego fotografii czworościanu Meissnera, który, jak sądził, przypomina zarówno czaszkę Yoricka, jak i pierś Ofelii z Hamleta Szekspira .

Linki zewnętrzne

• Lachand-Robert, Thomas; Oudet, Édouard. „Sferoformy” .
• Weber, Christof. „Ciała o stałej szerokości” . Istnieją również filmy, a nawet interaktywne zdjęcia obu ciał Meissnera.
• Roberts, Patryk. „Sferoforma z symetrią czworościenną” . Zawiera obrazy 3D i link do artykułu matematycznego pokazującego dowód stałej szerokości.