Rozszerzenie (logika predykatów)

Rozszerzenie predykatu - funkcja o wartościach logicznych - to zbiór krotek wartości , które użyte jako argumenty spełniają predykat. Taki zbiór krotek jest relacją .

Przykłady

Na przykład stwierdzenie „ d2 jest dniem tygodnia następującym po dniu d1 ” może być postrzegane jako funkcja prawdy, która przypisuje każdej krotce ( d2 , d1 ) wartość prawda lub fałsz . Rozszerzeniem tej funkcji prawdy jest umownie zbiór wszystkich takich krotek powiązanych z wartością true , tj.

{(poniedziałek, niedziela), (wtorek, poniedziałek), (środa, wtorek), (czwartek, środa), (piątek, czwartek), (sobota, piątek), (niedziela, sobota)}

Badając to rozszerzenie, możemy stwierdzić, że „wtorek jest dniem powszednim następującym po sobocie” (na przykład) jest fałszywe.

Używając notacji set-builder , rozszerzenie predykatu n - ary można zapisać jako ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ {(x_ {1}, ..., x_ {n}) \ środkowy \ Phi (x_ {1}, ..., x_ {n}) \} \,.}$

Związek z funkcją charakterystyczną

Jeśli wartości 0 i 1 w zakresie funkcji charakterystycznej są utożsamiane odpowiednio z wartościami false i true - czyniąc funkcję charakterystyczną predykatem - , to dla wszystkich relacji R i predykatów następujące dwa stwierdzenia ${\ displaystyle \ Phi}$ są równoważne:

• jest charakterystyczną funkcją R. ${\ displaystyle \ Phi}$
• R jest rozszerzeniem ${\ Displaystyle \ Phi}$

Zobacz też

• Logika ekstensjonalna
• Zestaw przedłużający
• Ekstensjonalność
• Żywość

• rozszerzenie (semantyka) w nLab