Rozumowanie proporcjonalne

Rozumowanie oparte na relacjach proporcjonalności jest jedną z form tego, co w teorii rozwoju poznawczego Piageta nazywa się „formalnym rozumowaniem operacyjnym”, nabywanym w późniejszych stadiach rozwoju intelektualnego. Istnieją metody, za pomocą których nauczyciele mogą pomóc uczniom w prawidłowym zastosowaniu rozumowania proporcjonalnego .

W matematyce i fizyce

W matematyce i fizyce proporcjonalność to matematyczna zależność między dwiema wielkościami; można to wyrazić jako równość dwóch stosunków:

$\ Displaystyle {\ Frac {a} {b}} = {\ Frac {c} {d}}}$

Funkcjonalnie proporcjonalność może być związkiem między zmiennymi w równaniu matematycznym. Na przykład, biorąc pod uwagę następujące równanie siły grawitacji ( według Newtona ):

${\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

siła grawitacji między dwiema masami jest wprost proporcjonalna do iloczynu dwóch mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między dwiema masami.

Rozwój intelektualny

W modelu rozwoju intelektualnego Piageta czwartym i ostatnim etapem jest formalny etap operacyjny . W klasycznej książce „The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence” autorstwa Jeana Piageta i Barbel Inhelder formalne rozumowanie operacyjne przybiera wiele form, w tym rozumowanie propozycjonalne, logikę dedukcyjną, separację i kontrolę zmiennych, rozumowanie kombinatoryczne i rozumowanie proporcjonalne. Roberta Karplusa , nauczyciel przedmiotów ścisłych w latach 60. i 70., badał wszystkie te formy rozumowania u nastolatków i dorosłych. Pan Wysoki-Pan Niski był jednym z jego studiów.

Przykłady

Odwrotna proporcja

Istnieją porównywalne wzorce rozumowania dla odwrotnej proporcji.

Trójkąt wodny

 Rozważmy pojemnik z kolorową cieczą w prawym trójkącie, w którym trójkąt można przechylać, a poziom wody po lewej i prawej stronie można zmierzyć na wbudowanej skali. Nazywa się to „trójkątem wodnym”:   Trójkąt wodny jest obracany, aż pokaże pomiar 4 jednostek po lewej stronie i 6 jednostek po prawej stronie. Załóżmy, że trójkąt jest przechylony jeszcze bardziej, aż poziom wody po prawej stronie osiągnie 8 jednostek.  Odgadnij, jaki poziom wody w jednostkach będzie po lewej stronie.  

Typowe rozwiązania

Ktoś, kto ma wiedzę na temat powierzchni trójkątów, może pomyśleć: „Początkowo powierzchnia wody tworzącej trójkąt wynosi 12, ponieważ ½ * 4 * 6 = 12. Ilość wody się nie zmienia, więc powierzchnia się nie zmieni. Zatem odpowiedź brzmi 3, ponieważ ½ * 3 * 8 = 12”.

Prawidłowa odpowiedź multiplikatywna jest stosunkowo rzadka. Zdecydowanie najczęstszą odpowiedzią jest coś w stylu: „2 jednostki, ponieważ poziom wody po prawej stronie wzrósł o dwie jednostki, więc poziom wody po lewej stronie musi spaść o dwie jednostki, a 4 – 2 = 2”. Rzadziej powodem dwóch jednostek jest: „Zanim będzie w sumie 10 jednostek, ponieważ 4 + 6 = 10. Całkowita liczba jednostek musi pozostać taka sama, więc odpowiedź brzmi 2, ponieważ 2 + 8 = 10”.

Więc znowu są osoby, które nie są na formalnym poziomie operacyjnym, stosują strategię addytywną zamiast strategii multiplikatywnej, aby rozwiązać odwrotną proporcję. I podobnie jak bezpośrednia proporcja, ta błędna strategia wydaje się być logiczna dla jednostki i wydaje się dawać rozsądną odpowiedź. Uczniowie są bardzo zaskoczeni, kiedy faktycznie przeprowadzają eksperyment i przechylają trójkąt, aby znaleźć odpowiedź 3, a nie 2, jak tak pewnie przewidzieli.

Postrzeganie tych strategii jako relacji funkcjonalnych

Niech T będzie wzrostem pana Wysokiego, a S wzrostem pana Niskiego, wtedy poprawna strategia multiplikatywna może być wyrażona jako T/S = 3/2; jest to stała relacja ilorazowa. Nieprawidłową strategię addytywną można wyrazić jako T – S = 2; jest to stała relacja różnicowa. Oto wykres dla tych dwóch równań. Jeśli chodzi o wartości liczbowe zawarte w opisie problemu, wykresy te są „podobne” i łatwo zrozumieć, dlaczego ludzie uważają swoje błędne odpowiedzi za zupełnie rozsądne.

Rozważmy teraz naszą odwrotną proporcję, używając „trójkąta wody”. Niech L będzie wysokością wody po lewej stronie, a R wysokością wody po prawej stronie, wtedy poprawną strategię multiplikatywną można wyrazić jako L * R = 24; jest to stała relacja produktowa. Nieprawidłową strategię addytywną można wyrazić jako L + R = 10; jest to stała relacja sumy. Oto wykres dla tych dwóch równań. Jeśli chodzi o wartości liczbowe zawarte w opisie problemu, wykresy te są „podobne” i łatwo zrozumieć, dlaczego ludzie uważają swoje błędne odpowiedzi za zupełnie rozsądne.

Nauczanie proporcjonalnego rozumowania

Jak potwierdzi każdy doświadczony nauczyciel , nie wystarczy po prostu powiedzieć uczniowi, że jego/jej odpowiedź jest błędna, a następnie poinstruować go, aby zastosował prawidłowe rozwiązanie. Niewłaściwa strategia nie została „odłączona w mózgu” i pojawi się ponownie po zakończeniu bieżącej lekcji.

Również wymienione powyżej strategie addytywne nie mogą być po prostu oznaczone jako „niepoprawne”, ponieważ prawidłowo pasują do innych rzeczywistych sytuacji. Rozważmy na przykład następujący problem:

W Dniu Niepodległości w tym roku Pan Wysoki miał 6 lat, a Pan Niski miał 4 lata. W przyszłe Święto Niepodległości pan Short ma 6 lat. Ile lat będzie miał Pan Wysoki w ten Dzień Niepodległości?

Podobnie relacja sumy stałej może być poprawna w niektórych sytuacjach. Rozważ następujący problem.

Po lewej stronie rzeki są cztery bobry, a po prawej sześć bobrów. W późniejszym czasie z tą samą grupą bobrów po prawej stronie rzeki występuje osiem bobrów. Ile bobrów będzie po lewej stronie?

Istnieją więc sytuacje, w których relacje addytywne (stała różnica i stała suma) są poprawne, oraz inne sytuacje, w których poprawne są relacje multiplikatywne (stały stosunek i stały iloczyn).

Wykorzystanie ćwiczeń praktycznych i cyklu nauki Karplus

Niezwykle ważne jest, aby uczniowie sami uznali, że ich obecny sposób rozumowania, powiedzmy, że jest addytywny, jest nieodpowiedni dla multiplikatywnego problemu, który próbują rozwiązać. Robert Karplus opracował model uczenia się, który nazwał cyklem uczenia się, który ułatwia nabywanie nowych umiejętności rozumowania.

1. Pierwsza faza to eksploracja, w której uczniowie uczą się poprzez własne działania i reakcje przy minimalnym wsparciu. Środowisko uczenia się musi być starannie zaprojektowane, aby skupić uwagę ucznia na istotnych kwestiach. Uczniowie mogą doświadczyć pewnego dysonansu poznawczego , jeśli odkryją, że ich wcześniejsza strategia nie pasuje do obserwowanych wyników. Może to prowadzić do pytań, na które nie mogą odpowiedzieć za pomocą swoich obecnych pomysłów lub wzorców rozumowania.
2. W drugiej fazie koncepcja jest wprowadzana i wyjaśniana. Tutaj nauczyciel jest bardziej aktywny, a nauka odbywa się poprzez wyjaśnianie.
3. Wreszcie, w fazie trzeciej, koncepcja jest stosowana do nowych sytuacji, a zakres jej zastosowania jest rozszerzany. Uczenie się odbywa się poprzez powtarzanie i praktykę, dzięki czemu nowe idee i sposoby myślenia mają czas na ustabilizowanie się.

Ćwiczenia praktyczne są niezwykle przydatne w cyklu uczenia się. Po dokonaniu przewidywań dotyczących wzrostu Pana Wysokiego w spinaczach, można wprowadzić narzędzia pomiarowe i uczniowie mogą przetestować swoje strategie. Dla ucznia korzystającego ze stałej zależności różnicowej rzeczywisty pomiar wykaże, że Pan Wysoki ma w rzeczywistości dziewięć spinaczy do papieru, a to wywoła pewien dysonans poznawczy.

To samo dotyczy relacji odwrotnych. Oto zdjęcie dwóch uczniów pracujących z „trójkątem wodnym”. Biorąc pod uwagę problem opisany powyżej, większość uczniów przewiduje, że poziom wody po lewej stronie spadnie do dwóch jednostek, gdy trójkąt wody zostanie przechylony. Kiedy przeprowadzają eksperyment i widzą, że odpowiedź to 3 jednostki, ustanawia to pewien dysonans poznawczy. Jest to najlepszy czas dla nauczyciela, aby przenieść lekcję do drugiego etapu cyklu uczenia się.

Ważne jest, aby uczniowie nie stosowali nadmiernie strategii multiplikatywnych, których się uczą. Dlatego niektóre z praktycznych działań mogą nie opierać się na relacji multiplikatywnej. Oto zdjęcie dwóch uczniów pracujących z aparatem, w którym relacja stałej sumy jest poprawna.

Nie zawsze jest możliwe lub wykonalne oddanie w ręce uczniów starannie zaplanowanych zajęć praktycznych. Poza tym starsi odbiorcy nie zawsze dobrze reagują na praktyczne eksperymenty. Jednak często możliwe jest wprowadzenie dysonansu poznawczego poprzez eksperymenty myślowe .

Określenie poprawnej relacji na podstawie eksperymentów myślowych

We wszystkich eksperymentach wymienionych powyżej występują dwie zmienne, których wartości zmieniają się w oparciu o ustaloną zależność. Rozważmy następujący problem, który jest podobny do problemu Pana Wysokiego i Pana Niskiego.

Oto zdjęcie ojca i córki. Na tym zdjęciu córka ma 4 cm wzrostu, a ojciec 6 cm wzrostu. Postanowili powiększyć zdjęcie i na większym zdjęciu córka ma 6 cm wzrostu. Jak wysoki jest ojciec na większym obrazku?

Bardzo częstą odpowiedzią osoby korzystającej z relacji addytywnej jest 8 cm, ponieważ ojciec jest zawsze o 2 cm wyższy od córki. Teraz zadaj temu uczniowi następujące pytanie:

Załóżmy, że zrobili bardzo małą wersję oryginalnego obrazka i na tym małym obrazku ojciec ma 2 cm wzrostu. Jak wysoka będzie córka na tym małym obrazku?

Uczeń szybko orientuje się, że strategia „ojciec jest zawsze o 2 cm wyższy od córki” nie jest słuszna. Można to również osiągnąć, eksplorując drugą skrajność, gdzie oryginalne zdjęcie jest powiększone do rozmiarów plakatu, a córka ma 100 cm wzrostu. Jak wysoki będzie ojciec na tym plakacie? Uczeń, który odpowiedział, że ma 102 cm, zdaje sobie sprawę, że ojciec i córka są prawie tego samego wzrostu, co nie może być prawdą. W przypadku wystąpienia dysonansu poznawczego nauczyciel może wprowadzić właściwą relację, stały stosunek.

Ucznia można również zachęcić do przeprowadzenia własnych eksperymentów myślowych, np. „co jeśli wzrost córki podwoi się w powiększeniu, co stanie się ze wzrostem ojca?” Większość uczniów, w tym jeszcze na etapie konkretnej eksploatacji, szybko odpowie, że wzrost ojca też musi się podwoić. Abstrakcyjny eksperyment myślowy brzmi: „Załóżmy, że jedna ze zmiennych ma podwojoną wartość, jak zmieni się druga zmienna?” Jeśli odpowiedź brzmi „podwójnie”, może to być problem ze stałym stosunkiem. Ale jeśli odpowiedź nie jest podwójna, jak w przypadku problemu wieku z Panem Wysokim i Panem Niskim podanym powyżej, to nie jest to problem ze stałym stosunkiem.

W przypadku relacji odwrotnych, takich jak „trójkąt wodny”, przypadki ograniczające również mogą wprowadzać dysonans poznawczy. Na przykład:

Biorąc pod uwagę warunki początkowe z poziomem wody po lewej stronie na poziomie 4 jednostek i poziomem wody po prawej stronie na poziomie 6 jednostek, przewiduj, jaki będzie poziom wody po lewej stronie, jeśli trójkąt zostanie przechylony, aż poziom wody po prawej stronie osiągnie 10 jednostek.

W tym momencie uczniowie zrezygnują ze strategii addytywnej, zdając sobie sprawę, że 0 nie może być poprawną odpowiedzią. Eksperyment myślowy można przeprowadzić dla relacji odwrotnych. Jeśli jedna zmienna podwaja swoją wartość, co dzieje się z drugą zmienną? Jeśli odpowiedź brzmi ½, może to być stała relacja iloczynu (czyli proporcja odwrotna).

Wykreślanie wartości zmiennych może być również cennym narzędziem do określania, czy dwie zmienne są wprost proporcjonalne, czy nie. Jeśli są wprost proporcjonalne, to wartości powinny leżeć na linii prostej, a linia ta powinna przecinać początek układu współrzędnych.

Rozszerzanie rozumowania funkcjonalnego

Cztery relacje funkcjonalne wymienione powyżej, stała suma, stała różnica, stały iloczyn i stały stosunek, są oparte na czterech najbardziej znanych uczniom operacjach arytmetycznych, a mianowicie na dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu. Większość relacji w realnym świecie nie należy do żadnej z tych kategorii. Jeśli jednak uczniowie nauczą się prostych technik, takich jak eksperymenty myślowe i kreślenie wykresów, będą mogli zastosować te techniki w bardziej złożonych sytuacjach.

Ponownie rozważ równanie Newtona dla siły grawitacji:

${\ Displaystyle F = G {\ Frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

Jeśli uczeń rozumie funkcjonalną zależność między zmiennymi, powinien umieć odpowiedzieć na następujące eksperymenty myślowe.

Co stałoby się z siłą przyciągania grawitacyjnego, gdyby:

• jedna z mas jest podwojona?
• jedna masa podwoiła się, a druga zmniejszyła o połowę?
• obie masy podwoiły się?
• obie masy o połowę?
• odległość między masami podwoiła się?
• odległość między masami zmniejszyła się o połowę?

Ogólnie rzecz biorąc, eksperymenty myślowe muszą być potwierdzone wynikami eksperymentalnymi. Wiele dzieci i dorosłych, poproszonych o przeprowadzenie eksperymentu myślowego dotyczącego masy przedmiotu i prędkości, z jaką spada on na ziemię, może powiedzieć, że gdy masa zostanie podwojona, obiekt spadnie dwa razy szybciej. Jednak wyniki eksperymentalne nie potwierdzają tego „logicznego” eksperymentu myślowego, dlatego zawsze istotne jest, aby wyniki teoretyczne zgadzały się z danymi eksperymentalnymi.