Rozwinięcia Taylora dla momentów funkcji zmiennych losowych

W teorii prawdopodobieństwa możliwe jest przybliżenie momentów funkcji f zmiennej losowej X za pomocą rozwinięć Taylora , pod warunkiem, że f jest wystarczająco różniczkowalna, a momenty X są skończone.

Pierwsza chwila

Biorąc pod uwagę średnią i wariancję rozwinięcia Taylora i oczekiwanej wartości można znaleźć poprzez fa

Ponieważ _ mi jest . Dlatego,

.

Możliwe jest uogólnienie tego na funkcje więcej niż jednej zmiennej przy użyciu wielowymiarowych rozwinięć Taylora . Na przykład,

Druga chwila

Podobnie,

Powyższe uzyskuje się za pomocą przybliżenia drugiego rzędu, zgodnie z metodą stosowaną przy szacowaniu pierwszego momentu. Będzie to słabe przybliżenie w przypadkach . Jest to szczególny przypadek metody delta .

mi .

fa , otrzymujemy mi . Wariancja jest następnie obliczana przy użyciu wzoru .

Przykładem jest,

Przybliżenie drugiego rzędu, gdy X ma rozkład normalny, to:

Pierwszy moment produktu

Aby znaleźć przybliżenie drugiego rzędu dla kowariancji funkcji dwóch zmiennych losowych (z zastosowaniem tej samej funkcji do obu), można postępować w następujący sposób. Najpierw zauważ, że . rozwinięcie drugiego rzędu tylko . Traktując jako funkcję dwóch zmiennych, rozwinięcie Taylora drugiego rzędu jest następujące:

Biorąc pod uwagę powyższe i upraszczając - wykorzystując tożsamości i — prowadzi do . Stąd,

Zobacz też

Notatki

Dalsza lektura