W teorii prawdopodobieństwa możliwe jest przybliżenie momentów funkcji f zmiennej losowej X za pomocą rozwinięć Taylora , pod warunkiem, że f jest wystarczająco różniczkowalna, a momenty X są skończone.
Pierwsza chwila
Biorąc pod uwagę średnią i wariancję rozwinięcia Taylora i oczekiwanej wartości można znaleźć poprzez fa
Ponieważ _ mi jest . Dlatego,
-
.
Możliwe jest uogólnienie tego na funkcje więcej niż jednej zmiennej przy użyciu wielowymiarowych rozwinięć Taylora . Na przykład,
Druga chwila
Podobnie,
Powyższe uzyskuje się za pomocą przybliżenia drugiego rzędu, zgodnie z metodą stosowaną przy szacowaniu pierwszego momentu. Będzie to słabe przybliżenie w przypadkach . Jest to szczególny przypadek metody delta .
mi .
fa , otrzymujemy mi . Wariancja jest następnie obliczana przy użyciu wzoru .
Przykładem jest,
Przybliżenie drugiego rzędu, gdy X ma rozkład normalny, to:
Pierwszy moment produktu
Aby znaleźć przybliżenie drugiego rzędu dla kowariancji funkcji dwóch zmiennych losowych (z zastosowaniem tej samej funkcji do obu), można postępować w następujący sposób. Najpierw zauważ, że . rozwinięcie drugiego rzędu tylko . Traktując jako funkcję dwóch zmiennych, rozwinięcie Taylora drugiego rzędu jest następujące:
Biorąc pod uwagę powyższe i upraszczając - wykorzystując tożsamości i — prowadzi do . Stąd,
Zobacz też
Notatki
Dalsza lektura