Rzadka siatka

Siatki rzadkie to techniki numeryczne służące do przedstawiania, integrowania lub interpolacji funkcji wielowymiarowych . Zostały one pierwotnie opracowane przez rosyjskiego matematyka Siergieja A. Smolyaka, ucznia Lazara Lyusternika i opierają się na konstrukcji rzadkiego iloczynu tensorowego. Algorytmy komputerowe do wydajnej implementacji takich siatek zostały później opracowane przez Michaela Griebela i Christopha Zengera .

Przekleństwo wymiarowości

Standardowym sposobem przedstawiania funkcji wielowymiarowych są siatki tensorowe lub pełne. Liczba funkcji bazowych lub węzłów (punktów siatki), które muszą być przechowywane i przetwarzane, zależy wykładniczo od liczby wymiarów.

Przekleństwo wymiarowości $wyrażone$ w kolejności błędu całkowania, który jest tworzony przez $poziomu$ punktami . Funkcja ma regularność $jest$ tj. $razy$ . Liczba wymiarów to ${\ displaystyle d}$ .

${\ Displaystyle | E_ {l} | = O (N_ {l} ^ {- {\ Frac {r} {d}}})}$

Reguła kwadraturowa Smolyaka

$obliczeniowo$ metodę całkowania funkcji wielowymiarowych opartą na jednowymiarowej . $z$ całkę Smolyaka $funkcji$ można jako $.$ _ _

${\ Displaystyle Q_ {l} ^ {(d)}f=\left(\suma _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right )\czasami Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$

Wskaźnikiem do $.$ poziom dyskretyzacji Jeśli całkowanie 1-wymiarowe na poziomie $i$ $\$ podstawie oceny punktów, oszacowanie dla funkcji regularności $displaystyle r}$ ${$ będzie ${\ Displaystyle | E_ {l} | = O \ lewo (N_ {l} ^ {- r} \ lewo (\ log N_ {l} \ prawo) ^ {(d -1)(r+1)}\prawo)}$

Dalsza lektura

Brumm, J.; Scheidegger, S. (2017). „Używanie adaptacyjnych rzadkich siatek do rozwiązywania wielowymiarowych modeli dynamicznych” (PDF) . Ekonometria . 85 (5): 1575–1612. doi : 10.3982/ECTA12216 .
Garcke, Jochen (2012). „Rzadkie siatki w pigułce” (PDF) . W Garcke, Jochen; Griebel, Michael (red.). Rozrzedzone siatki i aplikacje . Skoczek. s. 57–80. ISBN 978-3-642-31702-6 .
Zenger, Christoph (1991). „Rzadkie siatki” (PDF) . W Hackbusch, Wolfgang (red.). Algorytmy równoległe dla równań różniczkowych cząstkowych . Wyświetleg. s. 241–251. ISBN 3-528-07631-3 .

Linki zewnętrzne