S-estymator

Celem S-estymatorów jest posiadanie prostego estymatora regresji o wysokim rozkładzie , który ma taką samą elastyczność i dobre właściwości asymptotyczne jak M-estymatory . Wybrano nazwę „S-estymatory”, ponieważ opierają się one na estymatorach skali.

Rozważymy estymatory skali zdefiniowane przez funkcję , które spełniają ${\ displaystyle \ rho}$

• R1 - ${\ Displaystyle \ rho}$ jest symetryczny, różniczkowalny w sposób ciągły i ${\ Displaystyle \ rho (0) = 0}$ .
• $> 0 }$ - istnieje , że ściśle rośnie na $\ infty]} do > {\ Displaystyle c$$do$

Dla dowolnej próbki ${\ Displaystyle \ {r_ {1}, ..., r_ {n} \}}$ liczb rzeczywistych definiujemy oszacowanie skali $\ Displaystyle s (r_{1},...,r_{n})}$ jako rozwiązanie

${\ textstyle {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ rho (r_ {i} / s )=K}$ ,

gdzie $jest$ wartością dla standardowego $rozkładu$ normalnego _ _ (Jeśli istnieje więcej rozwiązań powyższego równania, to bierzemy to, które ma najmniejsze rozwiązanie dla s; jeśli nie ma rozwiązania, to stawiamy s $displaystyle s ( r_{1},...,r_{n})=0}$ .)

Definicja:

Niech ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), ..., (x_ {n}, y_ {n})}$ być próbką danych regresji z p-wymiarowym ${\ displaystyle x_ {i}}$ . każdego $,$ otrzymujemy $r_ {n} (\ teta)}}$ rozwiązując powyższe równanie skali, gdzie ${\ Displaystyle \ rho }$ spełniają R1 i R2. Estymator S jest zdefiniowany przez ${\ Displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ teta}} = \ min _ {\ teta} \, s ($

a ostateczny estymator skali jest wtedy ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}}}$

$Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} = s (r_ {1} ({\ kapelusz {\ teta}} ),...,r_{n}({\kapelusz {\theta}}))}$ .