Serie wariacyjne

W statystyce szereg wariacyjny jest ciągiem nie malejącym ${\ Displaystyle X_ {(1)} \ leqslant X_ {(2) )}\leqslant \cdots \leqslant X_{(n-1)}\leqslant X_{(n)}}$ złożony z początkowej serii niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie $Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ . Członkowie szeregów wariacyjnych tworzą statystykę porządkową , która stanowi podstawę nieparametrycznych metod statystycznych .

${\ Displaystyle X_ {(k)}}$ nazywa się statystyką k -tego rzędu, podczas gdy wartości ${\ Displaystyle X_ {(1)} = \ min _ {1 \ równoważnik k \ równoważnik n} {X_ {k}}}$ i ${\ Displaystyle X_ {(n)} = \ max _ {1 \ równoważnik k \ leq n}{X_{k}}}$ (pierwsza i ${\ displaystyle n}$ statystyki rzędu, odpowiednio) są określane jako warunki ekstremalne. Zakres próby jest określony przez ${\ Displaystyle R_ {n} = X_ {(n)} -X_ {(1)}}$ , a mediana próbki przez ${\ Displaystyle X_ {(m + 1)}}$ kiedy ${\ Displaystyle n = 2m + 1}$ jest nieparzysta i ${\ Displaystyle (X_ {(m + 1)} + X_ {(m)})/2}$ kiedy ${\ Displaystyle n =2m}$ jest parzysta.

Szereg wariacyjny służy do skonstruowania empirycznej funkcji dystrybucji ${\ Displaystyle {\ kapelusz {F}} (x) = \ mu (x) / n}$ , gdzie ${\ displaystyle \ mu (x)}$ to liczba elementów serii, które są mniejsze niż ${\ displaystyle x}$ . Rozkład empiryczny ${\ Displaystyle {\ kapelusz {F}} (x)}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_$ jako oszacowanie prawdziwego rozkładu $zmiennych$ losowych } do twierdzenia Glivenko – Cantellego prawie na pewno zbiega się z ${\ Displaystyle F (x)}$ .