Silny antyłańcuch

W teorii porządku podzbiór A częściowo uporządkowanego zbioru P jest silnym antyłańcuchem skierowanym w dół, jeśli jest to antyłańcuch , w którym żadne dwa odrębne elementy nie mają wspólnego dolnego ograniczenia w P , to znaczy:

${\ Displaystyle \ forall x, y \ w A \; [x \ neq y \ strzałka w prawo \ neg \ istnieje z \ w P \; [z \ równoważnik x \ ląd z \ równoważnik y]].}$

W przypadku, gdy P jest uporządkowane przez inkluzję i zamknięte w podzbiorach, ale nie zawiera zbioru pustego, jest to po prostu rodzina zbiorów rozłącznych parami.

Silny skierowany w górę antyłańcuch B jest podzbiorem P , w którym żadne dwa odrębne elementy nie mają wspólnego górnego ograniczenia w P . Autorzy często pomijają terminy „w górę” i „w dół” i odnoszą się jedynie do silnych antyłańcuchów. Niestety nie ma wspólnej konwencji co do tego, która wersja jest nazywana silnym antyłańcuchem. W kontekście forsowania autorzy czasami pomijają również termin „silny” i odnoszą się jedynie do antyłańcuchów. Aby rozwiązać niejasności w tym przypadku, słabszy typ antyłańcucha jest nazywany słabym antyłańcuchem .

Jeśli ( P , ≤) jest porządkiem częściowym i istnieją odrębne x , y ∈ P takie, że { x , y } jest silnym antyłańcuchem, to ( P , ≤) nie może być kratą (ani nawet spotykaną półkratą ), ponieważ z definicji każde dwa elementy w sieci (lub spotykają się z półkratą) muszą mieć wspólną dolną granicę. Zatem kraty mają tylko trywialne silne antyłańcuchy (tj. silne antyłańcuchy o liczności co najwyżej 1).

•   Kunen, Kenneth (1980), Teoria mnogości: wprowadzenie do dowodów niezależności , Studia z logiki i podstawy matematyki, North Holland: North-Holland Publishing Company , s. 53 , ISBN 9780444854018