Spójność Fishera

W statystyce spójność Fishera , nazwana na cześć Ronalda Fishera , jest pożądaną właściwością estymatora, która zapewnia, że ​​gdyby estymator został obliczony na podstawie całej populacji , a nie próby , otrzymano by prawdziwą wartość estymowanego parametru.

Definicja

Załóżmy, że mamy próbę statystyczną X ₁ , ..., X _n , gdzie każdy X _i ma skumulowany rozkład F _θ zależny od nieznanego parametru θ . Jeśli estymator θ oparty na próbie można przedstawić jako funkcjonał rozkładu empirycznego F̂ _n :

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ teta}} = T ({\ kapelusz {F}} _ {n}) \,,}$

mówi się, że estymator jest zgodny z Fisherem, jeśli:

${\ Displaystyle T (F _ {\ teta}) = \ teta \,.}$

Dopóki Xi _są wymienne , estymator T zdefiniowany F̂n _w odniesieniu do Xi _można przekształcić w estymator T′ , który można zdefiniować w kategoriach przez uśrednienie T ze wszystkich permutacji danych. Wynikowy estymator będzie miał taką samą wartość oczekiwaną jak T , a jego wariancja nie będzie większa niż wariancja T .

Jeśli można zastosować silne prawo wielkich liczb , empiryczne funkcje dystrybucji F̂ _n zbiegają się punktowo do F _θ , co pozwala nam wyrazić spójność Fishera jako granicę - estymator jest spójny Fishera, jeśli

${\ Displaystyle T \ lewo (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ kapelusz {F}} _ {n} \ prawej) = \ teta. \,}$

Przykład populacji skończonej

Załóżmy, że nasza próba pochodzi ze skończonej populacji Z ₁ , ..., Z _m . Możemy przedstawić naszą próbkę o wielkości n pod względem proporcji próby n _i / n przyjmującej każdą wartość w populacji. Zapisując nasz estymator θ jako T ( n ₁ / n , ..., n _m / n ), analogiem populacji estymatora jest _T ( p 1 _, ..., pm ), gdzie p _i = P ( X = Z _ja ). Zatem mamy spójność Fishera _, jeśli T ( p ₁ , ..., pm ) = θ.

Załóżmy, że interesującym nas parametrem jest wartość oczekiwana μ, a estymatorem jest średnia z próby , którą można zapisać

${\ Displaystyle n ^ {- 1} \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ suma _ {j =1}^{m}I(X_{i}=Z_{j})Z_{j},}$

gdzie I jest funkcją wskaźnika . Analogiem populacji tego wyrażenia jest

${\ Displaystyle n ^ {- 1} \ suma _ {i = 1} ^ {n }\sum _{j=1}^{m}p_{j}Z_{j}=n^{-1}\sum _{i=1}^{n}\mu =\mu ,}$

więc mamy spójność Fishera.

Rola w szacowaniu największego prawdopodobieństwa

Maksymalizacja funkcji wiarygodności L daje oszacowanie zgodne z Fisherem dla parametru b if

${\ Displaystyle E \ lewo [{\ Frac {d \ ln L} {db}} \ prawej] = 0 {\ tekst {w}} b = b_ {0},\,}$

₀ gdzie b reprezentuje prawdziwą wartość b .

Związek z asymptotyczną spójnością i nieobciążeniem

Termin spójność w statystyce zwykle odnosi się do estymatora, który jest asymptotycznie spójny . Spójność Fishera i spójność asymptotyczna to odrębne pojęcia, chociaż oba mają na celu zdefiniowanie pożądanej właściwości estymatora. Chociaż wiele estymatorów jest spójnych w obu znaczeniach, żadna definicja nie obejmuje drugiej. Załóżmy na przykład, że bierzemy estymator Tn _{, który jest zarówno spójny Fishera, jak i spójny asymptotycznie, a następnie tworzymy Tn + En , gdzie En jest} deterministycznym ciągiem liczb niezerowych zbiegających się do zera. Ten estymator jest asymptotycznie spójny, ale nie spójny Fishera dla dowolnego n .

Średnia z próby jest spójnym i nieobciążonym oszacowaniem średniej populacji zgodnym z Fisherem, ale nie wszystkie spójne oszacowania Fishera są bezstronne. Załóżmy, że obserwujemy próbkę z rozkładu jednostajnego na (0,θ) i chcemy oszacować θ. Maksimum próbki jest zgodne z Fisherem, ale obciążone w dół. I odwrotnie, wariancja próbki jest nieobciążonym oszacowaniem wariancji populacji, ale nie jest spójna Fishera.

Rola w teorii decyzji

Funkcja straty jest zgodna z Fisherem, jeśli populacyjny minimalizator ryzyka prowadzi do optymalnej reguły decyzyjnej Bayesa.