Stała Cheegera

W geometrii riemannowskiej stała izoperymetryczna Cheegera zwartej rozmaitości riemannowskiej M jest dodatnią liczbą rzeczywistą h ( M ) zdefiniowaną jako minimalny obszar hiperpowierzchni , która dzieli M na dwie rozłączne części. W 1970 roku Jeff Cheeger udowodnił nierówność, która łączyła pierwszą nietrywialną wartość własną operatora Laplace'a-Beltramiego na M z h ( M ). Okazało się to bardzo wpływową ideą w geometrii Riemanna i analizie globalnej oraz zainspirowało analogiczną teorię dla grafów .

Definicja

Niech M będzie n -wymiarową zamkniętą rozmaitością Riemanna. Niech V ( A ) oznacza objętość n -wymiarowej podrozmaitości A, a S ( E ) oznacza n -1-wymiarową objętość podrozmaitości E (powszechnie nazywanej w tym kontekście „obszarem”). Stała izoperymetryczna Cheegera M jest zdefiniowana jako

{\ Displaystyle h (M) = \ inf _ {E} {\ Frac {S (E)}} {\ min (V(A),V(B))}},}

gdzie infimum obejmuje wszystkie gładkie n -1-wymiarowe podrozmaitości E z M , które dzielą je na dwie rozłączne podrozmaitości A i B . Stałą izoperymetryczną można zdefiniować bardziej ogólnie dla niezwartych rozmaitości riemannowskich o skończonej objętości.

Nierówność Cheegera

Stała Cheegera h ( M ) i najmniejsza dodatnia wartość własna Laplace'a na M , są powiązane przez następującą udowodnioną podstawową nierówność ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ lambda _ {1} (M)}}$ autorstwa Jeffa Cheegera :

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} (M) \ geq {\ Frac {h ^ {2} (M)} {4}}.}

Ta nierówność jest optymalna w następującym sensie: dla dowolnego h > 0, liczby naturalnej k i ε > 0 istnieje dwuwymiarowa rozmaitość Riemanna M ze stałą izoperymetryczną h ( M ) = h i taką, że k wartość własna Laplacian znajduje się w odległości ε od granicy Cheegera (Buser, 1978).

Nierówność Busera

Peter Buser udowodnił górną granicę dla stałej izoperymetrycznej h ( M ). $}}$ M ) Niech M będzie n -wymiarową zamkniętą rozmaitością Riemanna, której krzywizna Ricciego jest ograniczona poniżej przez −( n −1) a ² , gdzie a ≥ 0. Wtedy

{\ Displaystyle \ lambda _ {1} (M) \ równoważnik 2a (n-1) h (M) + 10 h ^ {2} (M).}

Zobacz też

Buser, Piotr (1982). „Uwaga na temat stałej izoperymetrycznej” . Ann. nauka École Norma. Pić małymi łykami. (4) . 15 (2): 213–230. MR 0683635 .
Buser, Piotr (1978). „Über eine Ungleichung von Cheeger” [O nierówności Cheegera]. Matematyka Z. (w języku niemieckim). 158 (3): 245–252. doi : 10.1007/BF01214795 . MR 0478248 .
Cheeger, Jeff (1970). „Dolna granica najmniejszej wartości własnej Laplace'a”. W Gunning, Robert C. (red.). Problemy w analizie (Artykuły poświęcone Salomonowi Bochnerowi , 1969) . Princeton, NJ: Princeton Univ. Naciskać. s. 195–199. MR 0402831 .

Lubocki, Aleksander (1994). Grupy dyskretne, grafy rozszerzające i miary niezmienne . Nowoczesne klasyki Birkäuser. Z aneksem Jonathan D. Rogawski. Bazylea: Birkäuser Verlag. doi : 10.1007/978-3-0346-0332-4 . ISBN 978-3-0346-0331-7 . MR 2569682 .