Stała Copelanda-Erdősa

Copelanda – Erdősa jest konkatenacją „0”. z podstawowymi 10 reprezentacjami liczb pierwszych w kolejności. Jego wartość, używając współczesnej definicji liczby pierwszej, wynosi około

0,235711131719232931374143… (sekwencja A033308 w OEIS ).

Stała jest niewymierna ; można to udowodnić za pomocą twierdzenia Dirichleta o postępach arytmetycznych lub postulatu Bertranda (Hardy i Wright, s. 113) lub twierdzenia Ramare'a , że każda parzysta liczba całkowita jest sumą co najwyżej sześciu liczb pierwszych. Wynika to również bezpośrednio z jego normalności (patrz poniżej).

Podobnym argumentem każda stała utworzona przez konkatenację „0”. ze wszystkimi liczbami pierwszymi w ciągu arytmetycznym dn + a , gdzie a jest względnie pierwsze do d i do 10, będzie niewymierne; na przykład liczby pierwsze postaci 4 n + 1 lub 8 n + 1. Zgodnie z twierdzeniem Dirichleta, ciąg arytmetyczny dn · 10 ^m + a zawiera liczby pierwsze dla wszystkich m , a te liczby pierwsze są również w cd + a , więc łączone liczby pierwsze zawierać dowolnie długich ciągów cyfry zero.

Stała o podstawie 10 jest liczbą normalną , co udowodnili Arthur Herbert Copeland i Paul Erdős w 1946 r. (stąd nazwa stałej).

Stała jest dana przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n} 10 ^ { -\left(n+\suma _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}

gdzie pn _tą jest n- liczbą pierwszą .

Jego ułamek ciągły to [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] ( OEIS : A030168 ).

Powiązane stałe

$= n ^$ n 1 + o ${$ $-$ , gdzie n tą liczbą pierwszą ^. Bardziej ogólnie, jeśli $liczb$ jakąkolwiek ściśle rosnącą sekwencją naturalnych taką, że ${\ Displaystyle s_ {n} = n ^ {1 + o ($ i jest $.$ liczbą naturalną większą lub równą 2, a następnie stałą uzyskaną przez połączenie „0” z podstawowymi reprezentacjami s jest normalne w podstawie $}$ $. Na$ $displaystyle$ $104$ sekwencja spełnia te warunki, podstawie 10, ₇ jest normalne w bazie 7.

W dowolnej bazie b liczba

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} b ^ {- p_ {n}}, \,}

które można zapisać w podstawie b jako 0,0110101000101000101… _b , gdzie n- tą cyfrą jest 1 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą, jest niewymierne.

Zobacz też

Liczby Smarandache-Wellin : okrojona wartość tej stałej pomnożona przez odpowiednią potęgę 10.
Stała Champernownego : konkatenacja wszystkich liczb naturalnych, nie tylko liczb pierwszych.

Źródła

Copeland, Ah ; Erdős, P. (1946), „Notatka o liczbach normalnych”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7 .
Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938], Wprowadzenie do teorii liczb (wyd. 5), Oxford University Press, ISBN 0-19-853171-0 .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Copeland-Erdos Constant” . MathWorld .