Stan wykresu

W obliczeniach kwantowych stan grafu jest szczególnym rodzajem stanu wielokubitowego , który można przedstawić za pomocą grafu . Każdy kubit jest reprezentowany przez wierzchołek grafu, a pomiędzy każdą oddziałującą parą kubitów istnieje krawędź. W szczególności są wygodnym sposobem przedstawiania pewnych typów splątanych .

Stany grafów są przydatne w kodach kwantowej korekcji błędów , pomiarach i oczyszczaniu splątania oraz do charakteryzowania zasobów obliczeniowych w kwantowych modelach obliczeniowych opartych na pomiarach.

Definicja formalna

Stany grafów kwantowych można zdefiniować na dwa równoważne sposoby: poprzez pojęcie obwodów kwantowych i formalizm stabilizatora.

Definicja obwodu kwantowego

Biorąc pod uwagę wykres , ze zbiorem wierzchołków i zbiorem krawędzi $sol = ( V , mi ) {$ stan wykresu to $(V$$}$ zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ lewo | G \ prawo \ rangle} = \ prod _ {(a, b) \ w E} U ^ {\ {a, b \}} {\ lewo | + \ prawo \ zakres }^{\czasami V}}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ lewo | + \ prawo \ rangle} = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}} ({\ lewo | 0 \ prawo \ rangle } + {\ lewo | 1 \ prawo \ rangle})},$ a operatorem jest kontrolowana interakcja Z między dwoma wierzchołkami ( ${\ Displaystyle U ^ {\ {a, b \}}}$ odpowiadające dwóm kubitom) za $\ displaystyle a}$ i ${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle U ^ {\ {a, b \}} = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} cccc} {1} i {0} i { 0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}& {0}&{-1}\end{tablica}}\right]}$

Definicja formalizmu stabilizatora

Alternatywną i równoważną definicją jest następująca, która wykorzystuje formalizm stabilizatora .

Zdefiniuj operatora dla każdego wierzchołka $\$ sol $displaystyle G}$$:$ }}

${\ Displaystyle S_ {v} = \ sigma _ {x} ^ {(v)} \ prod _ {u \ w N (v )}\sigma _{z}^{(u)}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ sigma _ {x, y, z}}$ to macierze Pauliego i to zbiór wierzchołków sąsiadujących z $)}$${\ Displaystyle N ($ . Operatorzy $pracy$ . Stan wykresu ${\ Displaystyle {\ lewo | G \ prawo \ rangle}}$ jest zdefiniowany jako równoczesny ${\ Displaystyle + 1}$ -wartość własna stan własny ${\ Displaystyle \ lewo | V \ prawo |}$ operatorzy ${\ Displaystyle \ lewo \ {S_ {v} \ prawo \} _ {v \ w V}}$ :

${\ Displaystyle S_ {v} {\ lewo | G \ prawo \ rangle} = {\ lewo | G \ prawo \ rangle}}$

Równoważność między dwiema definicjami

Dowód równoważności obu definicji można znaleźć w.

Przykłady

• Jeśli $⊗$$ścieżką$ z trzema , stabilizatory

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {x} \ otimes {} & \ sigma _ {z} \ otimes ja, \\\ sigma _ {z} \ otimes {} & \ sigma _ {x} \ otimes \sigma _{z},\\I\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \sigma _{x}\end{aligned}}}$

Odpowiedni stan kwantowy to

${\ Displaystyle {\ lewo | P_ {3} \ prawo \ rangle} = {\ Frac {1} {\ sqrt {8}}} ({\ lewo | 000 \ prawo \ rangle} + {\ lewo | 100 \ prawo \rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }+{\left|101\right\rangle }-{\ lewo | 011 \ prawo \ rangle}$

• Jeśli jest trójkątem o trzech wierzchołkach, to $displaystyle$ stabilizatory $S_{v}} to$$S$

$}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {x} \ otimes {} i \ sigma _ {z} \ otimes \ sigma _ {z}, \\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{x}\otimes \sigma _{z},\\\sigma _{z}\otimes {}&\sigma _{z}\otimes \ sigma _{x}\end{wyrównane}}}$

Odpowiedni stan kwantowy to

${\ Displaystyle {\ lewo | K_ {3} \ prawo \ rangle} = {\ Frac {1} {\ sqrt {8}}} ({\ lewo | 000 \ prawo \ rangle} + {\ lewo | 100 \ prawo \rangle }+{\left|010\right\rangle }-{\left|110\right\rangle }+{\left|001\right\rangle }-{\left|101\right\rangle }-{\ lewo|011\prawo\rangle }-{\lewo|111\prawo\rangle })}$

Zauważ, że ${\ Displaystyle {\ lewo | P_ {3} \ prawo \ rangle}}$ i ${\ Displaystyle {\ lewo | K_ {3} \ prawo \ rangle}}$ są lokalnie sobie równoważne, tj. można je odwzorować na siebie, stosując jednostkowe przekształcenia jednego kubitu. Rzeczywiście, przełączanie $_ {y}}$${\ Displaystyle \ sigma$ pierwszym i ostatnim kubicie, podczas przełączania $}$ } ${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$ na środkowym kubicie odwzorowuje grupę stabilizatorów jednego na grupę drugiego.

Mówiąc bardziej ogólnie, dwa stany grafów są lokalnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im grafy są powiązane sekwencją tak zwanych etapów „lokalnego uzupełniania”, jak wykazali Van den Nest i in. (2005).

Zobacz też

• Splątanie
• Stan klastra

•   M. Hein; J. Eiserta; HJ Briegel (2004). „Wielostronne splątanie w stanach grafów”. Przegląd fizyczny A. 69 (6): 062311. arXiv : quant-ph/0307130 . Bibcode : 2004PhRvA..69f2311H . doi : 10.1103/PhysRevA.69.062311 . S2CID 108290803 .
•   S. Andersa; HJ Briegel (2006). „Szybka symulacja obwodów stabilizatora przy użyciu reprezentacji stanu wykresu”. Przegląd fizyczny A. 73 (2): 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Bibcode : 2006PhRvA..73b2334A . doi : 10.1103/PhysRevA.73.022334 . S2CID 12763101 .
•   M. Van den Nest; J. Dehaene; B. De Moor (2005). „Lokalna unitarna kontra lokalna równoważność Clifforda stanów stabilizatora”. Przegląd fizyczny A. 71 (6): 062323. arXiv : quant-ph/0411115 . Bibcode : 2005PhRvA..71f2323V . doi : 10.1103/PhysRevA.71.062323 . S2CID 119466090 .

Linki zewnętrzne

• Stany grafów kwantowych: dwie równoważne definicje