Statystyka fotonów

Statystyka fotonów to teoretyczne i eksperymentalne badanie rozkładów statystycznych uzyskanych w eksperymentach z liczeniem fotonów , które wykorzystują fotodetektory do analizy wewnętrznej statystycznej natury fotonów w źródle światła. W tych eksperymentach światło padające na fotodetektor generuje fotoelektrony , a licznik rejestruje impulsy elektryczne, generując statystyczny rozkład liczby fotonów. Różne źródła światła o niskim natężeniu można rozróżnić na podstawie odpowiednich rozkładów statystycznych uzyskanych w procesie wykrywania.

W zależności od właściwości źródła światła można uzyskać trzy reżimy rozkładów statystycznych: Poissona , super-Poissona i sub-Poissona. Reżimy są definiowane przez związek między wariancją a średnią liczbą zliczeń fotonów dla odpowiedniego rozkładu. Zarówno światło Poissona, jak i światło super-Poissona można opisać za pomocą półklasycznej teorii, w której źródło światła jest modelowane jako fala elektromagnetyczna, a atom jest modelowany zgodnie z mechaniką kwantową. Natomiast światło sub-Poissonowskie wymaga kwantyzacji pola elektromagnetycznego dla właściwego opisu, a zatem jest bezpośrednią miarą cząsteczkowej natury światła.

Światło Poissona

W klasycznej teorii elektromagnetycznej idealne źródło światła o stałym natężeniu może być modelowane przez spójną przestrzennie i czasowo falę elektromagnetyczną o jednej częstotliwości. Takie źródło światła można modelować,

${\ Displaystyle E (x, t) = E_ {0} \ sin (kx- \ omega t + \ phi)}$

gdzie $jest niezależnym$ częstotliwością pola i $.$ czasu przesunięciem fazowym

Analogiem w mechanice kwantowej jest stan spójny

${\ Displaystyle |\ alfa \ rangle = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ alfa} ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} e ^ {\ frac {{-\left\vert {\alpha}\right\vert}^{2}}{2}}|n\rangle }$

Rzutując spójny stan na stan Focka $n \ rangle}$${\ Displaystyle P_$ , możemy znaleźć prawdopodobieństwo znalezienia fotonów za pomocą reguły Borna , co daje ${n}}$

${\ Displaystyle P_ {n} = {\ Frac {{\ lewo \ vert \ alfa \ prawo \ vert} ^ {2n}} {n!}} e ^ {{- \ lewo \ vert \ alfa \right\vert }^{2}}={\frac {{\langle n\rangle }^{n}}{n!}}e^{-\langle n\rangle }}$

$jest$ rozkładem Poissona, spójnego

Światło super-Poissonowskie

Światło, którym rządzą statystyki super-Poissona, wykazuje rozkład statystyczny z wariancją . ${\ Displaystyle {\ Delta n} ^ {2}> \ langle n \ rangle}$ . Przykładem światła, które wykazuje statystyki super-Poissona, jest światło termiczne . Intensywność światła termicznego zmienia się losowo, a fluktuacje prowadzą do statystyk super-Poissona, jak pokazano poniżej przez obliczenie rozkładu fluktuacji intensywności. Korzystając z rozkładu natężenia wraz ze wzorem Mandela opisującym prawdopodobieństwo liczby zliczeń fotonów zarejestrowanych przez fotodetektor, można otrzymać statystyczny rozkład fotonów w świetle termicznym.

$termiczne$ można modelować jako zbiór oscylatorów . Załóżmy, że $)$ oscylator emituje pole elektromagnetyczne $\ Displaystyle E_ {j} (t) = E_ {0}$ z fazą ${\ Displaystyle \ phi _ {j} (t)}$ . Korzystając z teorii superpozycji pól, całkowite pole wytwarzane przez oscylatory wynosi ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle E (t) = \ suma _ {j = 1} ^{N}E_{j}(t)=\suma _{j=1}^{N}E_{0}e^{-i\omega t}e^{i\phi _{j}(t) }}$

Po wyciągnięciu wszystkich zmiennych, które są niezależne od indeksu sumowania, $\ displaystyle j}$ złożoną amplitudę można zdefiniować za pomocą jot {

${\ Displaystyle \ beta (t) = \ suma _ {j = 1} ^ {N} e ^{i\phi _{j}(t)}=b(t)e^{i\phi (t)}}$

gdzie $t$${\ Displaystyle b (t) = \ lewo \ vert \ beta \ prawo \ vert}$ względem i jego faza ${\ Displaystyle e ^ {i \ Phi (t)}}$ . Ponieważ oscylatory są nieskorelowane, faza nałożonego pola będzie losowa. Dlatego złożona amplituda ${\ Displaystyle \ beta (t)}$ jest zmienną stochastyczną. Reprezentuje sumę nieskorelowanych faz oscylatorów, które modelują fluktuacje natężenia światła termicznego. Na płaszczyźnie zespolonej reprezentuje dwuwymiarowego przypadkowego wędrowca, w którym $wykonane$ kroki. Dla dużego $wędrowca$ ma rozkład prawdopodobieństwa Gaussa . Zatem wspólny rozkład prawdopodobieństwa dla części rzeczywistej i urojonej złożonej zmiennej losowej ${\ Displaystyle \ beta (t)}$ można przedstawić jako,

${\ Displaystyle p (\ beta (t)) = \ lewo [{\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {\ frac {- {Re (\ beta ( t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{ \frac {-{Im(\beta (t))}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} e ^ {\ Frac {- \ lewo ({Re (\ beta (t))} ^ {2} +{Im(\beta (t))}^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^ {\frac {-{\left\vert \beta (t)\right\vert}^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Po $|$${\ Displaystyle \ langle {\ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert} ^ {2} \ rangle = 2 \ sigma ^ {2} = N}$ oczekiwana kwadratu promienia wynosi . Wartość oczekiwana ${\ Displaystyle \ langle \ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert \ rangle = 0}$ co można uznać za równie prawdopodobne we wszystkich kierunkach. Przepisanie rozkładu prawdopodobieństwa w kategoriach skutkuje . ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle p (\ beta (t)) = {\ Frac {1} {\ pi N}} e ^ {\ Frac {- {\ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert} ^ { 2}}{N}}}$

Dzięki powyższemu rozkładowi prawdopodobieństwa możemy teraz znaleźć średnie natężenie pola (gdzie dla przejrzystości pominięto kilka stałych)

${\ Displaystyle \ langle I (t) \ rangle = \ langle E ^ {*} (t) E (t) \ rangle}$

${\ Displaystyle = {E_ {0}} ^ {2} {\ langle \ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert} ^ {2} \ rangle = N {E_ {0} }^{2}}$

Chwilowe natężenie pola jest podane przez ${\ Displaystyle I (t)}$

${\ Displaystyle I (t) = E ^ {*} (t) E (t) = E_ {0} ^ {2} {\ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert} ^ {2}}$

Ponieważ pole elektryczne, a tym samym natężenie, zależy od stochastycznej zmiennej zespolonej ${\ Displaystyle \ beta (t)}$ . Prawdopodobieństwo uzyskania intensywności pomiędzy $\ displaystyle I + dI} wynosi ja {$$displaystyle I$ ja { }

${\ Displaystyle p (ja (t)) dI = p (ja (\ beta (t))) d ^ {2 }\beta}$

gdzie $.$ płaszczyźnie zespolonej Ten nieskończenie mały element można zapisać jako

${\ Displaystyle d ^ {2} \ beta = 2 \ pi \ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert d \ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert}$

Powyższy rozkład intensywności można teraz zapisać jako

${\ Displaystyle p (ja (t)) = p (\ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert) 2 \ pi \ lewo \ vert \ beta ( t)\right\vert {\left({\frac {dI}{d\left\vert \beta (t)\right\vert }}\right)}^{-1}}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {\ pi N}} e ^ {\ Frac {- {\ lewo \ vert \ beta (t) \ prawo \ vert }^{2}}{N}}2\pi \left\vert \beta (t)\right\vert {\left(2E_{0}^{2}\left\vert \beta (t)\right\ vert \right)}^{-1}}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {1} {NE_ {0} ^ {2}}} e ^ {\ Frac {-E_{0}^{2}{\left\vert \beta (t)\right\vert }^{2}}{NE_{0}^{2}}}={\frac {1}{\ langle I(t)\rangle }}e^{\frac {-I(t)}{\langle I(t)\rangle }}}$

To ostatnie wyrażenie reprezentuje rozkład intensywności światła termicznego. Ostatnim krokiem w pokazaniu, że światło termiczne spełnia warunek wariancji dla statystyki super-Poissona, jest użycie wzoru Mandela. Wzór opisuje prawdopodobieństwo zaobserwowania zliczeń n fotonów i jest podany przez

${\ Displaystyle P (n) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {{\ lewo (\ epsilon I \ prawo)} ^ {n}} n!}}e^{-\epsilon I}P(I)dI}$

Współczynnik $,$$kwantową$ licznika fotonów Idealny detektor miałby ${\ displaystyle \ eta = 1}$ . $natężeniem$ incydentu na obszarze A fotodetektora i jest podane przez

Porównanie rozkładów Poissona i Bosego-Einsteina. Rozkład Poissona jest charakterystyczny dla światła spójnego, podczas gdy rozkład Bosego-Einsteina jest charakterystyczny dla światła termicznego. Oba rozkłady mają tę samą wartość oczekiwaną ${\ Displaystyle \ langle n \ rangle = 6}$ .

${\ Displaystyle I = \ iint \ granice _ {A} \ int _ {t} ^ {t + \ tau} \,I(x,y,t')dt'\,dx\,dy}$

Zastępując P(I) rozkładem prawdopodobieństwa natężenia światła termicznego, otrzymujemy wzór Mandela

${\ Displaystyle P (n) = \ int _ {0} ^ {\ infty}} {\ Frac {{\ lewo (\ epsilon I \ prawo)} ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ epsilon I}{\frac {e^{\frac {-I}{\langle I\rangle }}}{\langle I\rangle }}dI={\frac {{\epsilon }^{n}}{n !\langle I\rangle }}\int _{0}^{\infty}{I}^{n}e^{-\left(\epsilon +{\frac {1}{\langle I\rangle }} \right)I}dI}$

Wykorzystanie poniższego wzoru do obliczenia całki

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n} e ^ {-ax} dx = {\ Frac {n$

Rozkład prawdopodobieństwa dla n zliczeń fotonów z termicznego źródła światła to

${\ Displaystyle P (n) = {\ Frac {1} {\ lewo (\ langle n \ rangle + 1 \ prawo)}}{\lewo({\frac {\langle n\rangle}}} {\langle n\rangle +1}}\prawo)}^{n}}$

gdzie $_$ _ Ta ostatnia dystrybucja jest znana jako dystrybucja Bosego-Einsteina. Można wykazać wariancję rozkładu

${\ Displaystyle {\ Delta n} ^ {2} = \ langle n \ rangle + {\ langle n \ rangle} ^ {2}}$

$światła$ Bosego-Einsteina ma .

Światło sub-Poissonowskie

Schemat schematu korelacji intensywności homodyn opisanego w [6]. SI, pole sygnałowe, LO, oscylator lokalny, BS, rozdzielacz wiązki, SL, światło nałożone, C, korelator. Fotodetektory (elementy czarne) wysyłają sygnały elektryczne do korelatora, w którym mierzona jest korelacja natężenia.

Światła, którym rządzą statystyki sub-Poissona, nie można opisać klasyczną teorią elektromagnetyczną i jest ono zdefiniowane przez ${\ Displaystyle {\ Delta n} ^ {2}<\ langle n \ rangle$ } Pojawienie się ultraszybkich fotodetektorów umożliwiło pomiar sub-poissonowskiej natury światła. Przykładem światła wykazującego statystyki sub-Poissonowskie jest światło ściśnięte. Niedawno naukowcy wykazali, że światło sub-Poissonowskie może być indukowane w kropce kwantowej wykazującej rezonansową fluorescencję. Techniką używaną do pomiaru sub-poissonowskiej struktury światła jest schemat korelacji intensywności homodynowej. W tym schemacie lokalny oscylator i pole sygnału są nakładane przez rozdzielacz wiązki. Nałożone światło jest następnie rozdzielane przez inny rozdzielacz wiązki, a każdy sygnał jest rejestrowany przez indywidualne fotodetektory połączone z korelatorem, z którego można zmierzyć korelację natężenia. Dowód sub-poissonowskiej natury światła jest pokazany przez uzyskanie ujemnej korelacji intensywności, jak pokazano w .