Substytuty brutto (pozycje niepodzielne)

W przypadku innych zastosowań zobacz Substytuty brutto .

W ekonomii substytuty brutto (GS) to klasa funkcji użyteczności dla dóbr niepodzielnych . Mówi się, że agent ma wycenę GS, jeśli zawsze, gdy ceny niektórych przedmiotów rosną, a ceny innych przedmiotów pozostają stałe, popyt agenta na przedmioty, których cena pozostaje stała, słabo rośnie.

Pakiet	Wycena Alicji (GS)	Wycena Boba (nie GS)
${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	$0	$0
jabłko	5 $	5 $
chleb	7 $	7 $
jabłko + chleb	9 $	15 $

Przykład pokazano po prawej stronie. Tabela przedstawia wyceny (w dolarach) Alicji i Boba do czterech możliwych podzbiorów zbioru dwóch pozycji: {jabłko, chleb}. Wycena Alicji to GS, ale wycena Boba to nie GS. Aby to zobaczyć, załóżmy, że początkowo zarówno jabłko, jak i chleb są wycenione na 6 USD. Optymalna paczka Boba to jabłko + chleb, ponieważ daje mu to wartość netto 3 USD. Teraz cena chleba wzrasta do 10 dolarów. Teraz optymalnym pakietem Boba jest pakiet pusty, ponieważ wszystkie inne pakiety dają mu ujemną wartość netto. Tak więc popyt Boba na jabłka spadł, chociaż wzrosła tylko cena chleba.

Warunek GS został wprowadzony przez Kelso i Crawforda w 1982 roku i został szeroko nagłośniony przez Gul i Stacchetti. Od tego czasu znalazła wiele zastosowań, głównie w teorii aukcji i teorii równowagi konkurencyjnej .

Definicje

Warunek GS ma wiele równoważnych definicji.

Substytuty brutto (GS)

Oryginalna definicja GS opiera się na wektorze ceny i zbiorze popytu .

• Wektor ceny $.$ wektor zawierający cenę za każdy przedmiot
• ${\ Displaystyle u (X) -p \ cdot X}$ uwagę funkcję użyteczności $-$ ceny zbiór $nazywany$$jest$ popytem ​​jeśli maksymalizuje użyteczność netto agenta: ( .
• Zbiór żądań $_$ _

Właściwość GS oznacza, że ​​gdy cena niektórych towarów rośnie, popyt na inne nie maleje. Formalnie dla dowolnych dwóch wektorów cen $X \$ p $displaystyle$$p}$ takich , że i każdy $) {$ , jest za ${\ Displaystyle Y \ w D (u, q)}$ takie, że ${\ Displaystyle Y \ supseteq \ {x \ w X | p_ {x} = q_ {x} \}}$ (Y zawiera wszystkie elementy w X, których cena pozostała stała).

Pojedyncze ulepszenie (SI)

Warunek SI mówi, że zbiór nieoptymalny można poprawić, dodając, usuwając lub zastępując pojedynczy element. Formalnie dla $\$$ceny$ pakietu ${$ taki } ${\ Displaystyle | X \ setminus Y | \ równoważnik 1}$$\ Displaystyle u (Y) -p \ cdot Y> u (X) -p \ cdot X}$ | i ${\ Displaystyle | Y \ setminus X | \ równoważnik 1}$ .

Brak elementów uzupełniających (NC)

Warunek NC mówi, że każdy podzbiór żądanego pakietu ma substytut. Formalnie: dla dowolnego wektora ceny i żądanych pakietów $p$${\ Displaystyle X, Y \ in D (u, p)}$ każdego podzbioru ${ \displaystyle X'\subseteq X}$ , istnieje podzbiór ${\ Displaystyle Y'\ subseteq Y}$ taki, że: ${\ Displaystyle X \ setminus X '\ kubek Y' \ w D (u, p)}$

Jeśli funkcja wyceny jest monotoniczna, to GS implikuje SI, a SI implikuje NC, a NC implikuje GS, więc te trzy warunki są równoważne.

M ^♮ Wklęsły (MX)

M ^♮ pochodzi z analizy wypukłej (symbol jest symbolem „naturalnym”, podobnym do jego użycia w muzyce ). Mówi, że dla wszystkich zestawów $}$ dla każdego elementu $X {\ displaystyle x$ jedno z poniższych musi być prawdziwe:

• ${\ Displaystyle u (X) + u (Y) \ równoważnik u (X \ setminus \ {x \ })+u(Y\cup \{x\})}$ lub
• istnieje element ${\ Displaystyle y \ w Y}$ taki, że ${\ Displaystyle u (X) + u (Y) \ równoważnik u (X \ zestawminus \ {x \} \ kubek \ {y \}) + u (Y \ zestawminus \ {y \} \ kubek \ {x \})}$ .

M ^♮ -wklęsłość jest również nazywana właściwością M ^♮ -wymiana . Ma następującą interpretację. $że$$,$ zarówno Alicja, jak i Bob mają funkcję użytkową $i$ odpowiednio w pakiety . Za każdy przedmiot, który Alicja wręcza Bobowi, Bob może wręczyć Alicji co najwyżej jeden przedmiot, tak aby ich całkowita użyteczność po wymianie została zachowana lub zwiększona.

SI implikuje MX, a MX implikuje SI, więc są równoważne.

Silne Brak elementów uzupełniających (SNC)

Warunek SNC mówi, że dla wszystkich zbiorów $styl wyświetlania Y'\subseteq Y}$$każdego$ podzbioru istnieje $podzbiór$$X$ ′ $X'\$ taki, że:

${\ Displaystyle u (X) + u (Y) \ równoważnik u (X \ setminus X'\szklanka Y')+u(Y\zbiórminus Y'\szklanka X')}$

Właściwość SNC jest również nazywana właściwością M ^♮ -multiple-exchange . Ma następującą interpretację. $że$$,$ zarówno Alicja, jak i Bob mają funkcję użytkową $i$ odpowiednio w pakiety . Dla każdego podzbioru $wręcza$ Bobowi, istnieje równoważny podzbiór $displaystyle Y'}$ że Bob może obsłużyć Alicję, tak że ich całkowita użyteczność po wymianie zostanie zachowana lub zwiększona. Zauważ, że jest to bardzo podobne do warunku MC - jedyna różnica polega na tym, że w MC Alicja wręcza Bobowi dokładnie jeden przedmiot, a Bob zwraca Alicji co najwyżej jeden przedmiot.

Uwaga: aby sprawdzić, czy u ma SNC, wystarczy rozważyć przypadki, w których ${\ Displaystyle X'\ subseteq X \ setminus Y}$ . $Y$$Displaystyle X'\ neq X \ setminus$ nietrywialne podzbiory, czyli przypadki, w których i ′ . W takich przypadkach wystarczy przeszukać wiązki ${\ Displaystyle Y '\ subseteq Y \ setminus X}$ .

Kazuo Murota udowodnił, że MX implikuje SNC.

Jest oczywiste, że SNC implikuje NC. Dowód: Napraw funkcję użyteczności SNC $displaystyle$ wektor ceny $p}$ . Niech ${\ Displaystyle A, B}$ będą dwoma pakietami w zbiorze popytu re $\ Displaystyle D (u, p)}$ . Oznacza to, że mają taką samą użyteczność netto, np. ${\ Displaystyle U_ {p}: = u_ {p} (A) = u_ {p} (B)}$ , a wszystkie inne pakiety mają użyteczność netto co najwyżej ${\ displaystyle U_ {p}}$ . Zgodnie z warunkiem SNC, dla każdego $,$ { $\ subseteq B$ że ${\ Displaystyle u_ {p} (A \ setminus A'\ kubek B) + u_ {p} (B \ setminus B '\cup A)\geq u_{p}(A)+u_{p}(B)=2\cdot U_{p}}$ . u ${\ Displaystyle u_ {p} (A \ setminus A'\ kubek B)$ i ${\ Displaystyle u_ {p} (B \ setminus B '\ kubek A)}$ oba są co najwyżej ${\ Displaystyle U_ {p}}$ . Dlatego oba muszą być dokładnie ${\ displaystyle U_ {p}}$ . Dlatego oba są również w ${\ Displaystyle D (u, p)}$ .

Powiedzieliśmy już, że NC implikuje GS, co implikuje SI, a SI implikuje MX. To zamyka pętlę i pokazuje, że wszystkie te właściwości są równoważne (istnieje również bezpośredni dowód, że SNC implikuje MX).

Przepływ popytu w dół (DDF)

Warunek DDF jest związany ze zmianami wektora ceny. Jeśli uporządkujemy pozycje rosnąco według wzrostu ich ceny, to popyt agentów GS płynie tylko w dół – od pozycji, których cena wzrosła bardziej, do pozycji, których cena wzrosła mniej, lub od pozycji, których cena wzrosła, do pozycji, których cena spadła lub z pozycji, których cena spadła mniej, do pozycji, których cena spadła bardziej.

Formalnie niech $, q} będzie$$displaystyle$ cen i niech wektorem wzrostu cen przedmiot $jest$ wymagany w ramach $przedmiot$ nie jest wymagany w $ramach$$istnieje$ inny z ${\ Displaystyle \ Delta _ {y}<\ Delta _ {x}},$ który nie jest wymagany w $displaystyle$ i jest wymagany w ramach $q}$ .

Łatwo zauważyć, że DDF implikuje GS (GS jest szczególnym przypadkiem DDF, w którym $dodatnie$ ). udowodnić, że MX implikuje DDF, więc wszystkie te warunki są równoważne.

Ochrona

Warunek GS jest zachowany przy zmianach cen. Tj. funkcja użyteczności $również$$jeśli$ i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora ceny $,$ użyteczności netto GS Najłatwiej to zobaczyć na podstawie warunków MC lub SNC, ponieważ oczywiste jest, że warunki te są niezmienne w stosunku do ceny.

Nieruchomości

Submodularność

Submodularny, który nie jest GS

Pakiet	Wartość ($)
${\ Displaystyle \ pusty zbiór}$	0
X	40
y	40
z	66
x, y	80
x, z	75
y, z	75
x, y, z	80

Każda wycena GS jest funkcją zbioru submodułowego .

Odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa. Pokazuje to przykład po prawej stronie. Użyteczność jest submodułowa, ponieważ spełnia właściwość malejącej użyteczności krańcowej: użyteczność krańcowa przedmiotu wynosi 40–66 po dodaniu do pustego zbioru, 9–40 po dodaniu do pojedynczego przedmiotu i 0–5 po dodaniu do pary przedmiotów. Ale narusza równoważne warunki rodziny GS:

• MX naruszają zbiory {x,y} i {z}. Załóżmy, że Alicja trzyma {x,y}, a Bob {z}, więc ich wspólna użyteczność wynosi 146. Alicja daje x Bobowi. Następnie, niezależnie od tego, czy Bob zwraca z, czy nie zwraca nic, ich wspólna użyteczność spada do 115.
• NC jest naruszane cenami i p $6}$$\ displaystyle p_ {z} =$ , ponieważ są dwa wymagane pakiety: {x,y} i {z} (oba mają użyteczność netto 60). Ale jeśli y jest wzięte z pierwszego zestawu, nie ma nic z drugiego zestawu, co mogłoby go zastąpić ({x} ma użyteczność netto 30, a {x, z} ma użyteczność netto 59 - żaden z nich nie jest popytem).
• $żądany$ naruszany cenami, wynosi wtedy {x ${\ displaystyle p_ {x}}$ wzrasta do np. 200 (tak, że x nie jest już wymagane), nowy żądany pakiet to {z}. Wzrost ${\ displaystyle p_ {x}}$ zmniejszył popyt na przedmiot y.
• $nie$ naruszane cenami, pakiet {z} ulepszenie polega na zmianie go na {x,y}, co wymaga dodania dwóch elementów.

Submodularność implikuje GS w szczególnym przypadku, w którym istnieje pojedynczy typ przedmiotu, tak że wartość pakietu zależy tylko od liczby przedmiotów w pakiecie. Najłatwiej to zobaczyć za pomocą charakterystyki SNC, co w tym przypadku przekłada się na:

dla wszystkich liczb całkowitych ${\ Displaystyle k_ {x}, k_ {y}}$ i dla każdego istnieje liczba całkowita ${\ Displaystyle k_ {x} '\ równoważnik k_ {x}}$${\ Displaystyle k_ {y} '\ równoważnik k_ {y}}$ takie, że:

${\ Displaystyle u (k_ {x}) + u (k_ {y}) \ równoważnik u (k_ {x} -k_ {x}'+k_{y}')+u(k_{y}-k_{y}'+k_{x}')}$

Rzeczywiście, jeśli ${\ Displaystyle k_ {x} '\ równoważnik k_ {y}},$ to możemy wziąć ${\ Displaystyle k_ {y} '= k_ {x}'}$ co sprawia, że ​​obie strony są identyczne; k ${\ Displaystyle k_ {x} '> k_ {y}}$ możemy wziąć $k_ {y} '= k_ {y}},$ co powoduje nierówność:

${\ Displaystyle u (k_ {x}) + u (k_ {y}) \ lek u(k_{y}+k_{x}-k_{x}')+u(k_{x}')}$

co jest równoważne z:

${\ Displaystyle u (k_ { x}'+[k_{x}-k_{x}'])-u(k_{x}')\równoważnik u(k_{y}+[k_{x}-k_{x}'])-u (k_{y})}$

Wynika to z submodularności, ponieważ ${\ Displaystyle k_ {x} '> k_ {y}}$ .

Linki zewnętrzne

• Samouczek dotyczący substytutów brutto na konferencji KE 2018: streszczenie , część I (Renato Paes-Leme) , część II (Inbal Talgam-Cohen) .
• Substytucyjność brutto: badanie algorytmiczne .