Superśledzenie

W teorii superalgebr , jeśli A jest superalgebrą przemienną , V jest wolnym prawym A - supermodułem , a T jest endomorfizmem od V do samego siebie, to superślad T , str( T ) jest określony następującym diagramem śladu :

Konkretniej, jeśli zapiszemy T w postaci macierzy blokowej po rozkładzie na parzyste i nieparzyste podprzestrzenie w następujący sposób,

${\ Displaystyle T = {\ rozpocząć {pmatrix} T_ {00} i T_ {01} \\ T_ {10} i T_ {11} \ koniec {pmatrix}}}$

potem superprzebieg

str( T ) = zwykły ślad T 00 − zwykły ślad T _{11 .}

Pokażmy, że superślad nie zależy od bazy. Załóżmy, że e ₁ , ..., e _p są parzystymi wektorami bazowymi, a e _{p +1} , ..., e _{p + q} są nieparzystymi wektorami bazowymi. Następnie składniki T , które są elementami A , są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle T (\ mathbf {e} _ {j}) = \ mathbf {e} _ {i} T_ {j} ^ {i}. \,}$

Ocena T ⁱ _j jest sumą ocen T , ei _, ej mod 2 _.

Zmiana bazy na e _1' , ..., e _p' , e _{( p +1)'} , ..., e _{( p + q )'} jest dana przez supermacierz

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i'} = \ mathbf {e} _ {i} A_ {i'} ^ {i}}$

i odwrotna supermacierz

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {e} _ {i'} (A ^ {- 1}) _ {i} ^{i'},\,}$

gdzie oczywiście AA ⁻¹ = A ⁻¹ A = 1 (tożsamość).

Możemy teraz wyraźnie sprawdzić, że superślad jest niezależny od bazy. W przypadku, gdy T jest parzyste, mamy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {str.} (A ^ {-1} TA) = (-1) ^ {| i'|} (A ^ {-1}) _ {j} ^ {i'} T_ {k} ^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j| )}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j }^{j}=\nazwa_operatora {str} (T).}$

W przypadku, gdy T jest nieparzyste, mamy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {str.} (A ^ {-1} TA) = (-1) ^ {| i'|} (A ^ {-1}) _ {j} ^ {i'} T_ {k} ^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j |)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{ j}^{j}=\nazwa_operatora {str} (T).}$

Zwykły ślad nie jest niezależny od bazy, więc właściwym śladem do użycia w ustawieniach stopniowanych Z ₂ jest super ślad.

Superślad spełnia właściwość

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {str} (T_ {1} T_ {2}) = (-1) ^ {| T_ {1} || T_ {2} |} \ nazwa operatora {str } (T_{2}T_{1})}$

dla wszystkich T ₁ , T ₂ w End( V ). W szczególności superślad superkomutatora wynosi zero.

W rzeczywistości można zdefiniować superślad bardziej ogólnie dla dowolnej superalgebry asocjacyjnej E nad przemienną superalgebrą A jako mapę liniową tr: E -> A , która znika na superkomutatorach. Taki superślad nie jest jednoznacznie zdefiniowany; zawsze można go przynajmniej zmodyfikować przez pomnożenie przez element A .

Aplikacje fizyczne

W supersymetrycznych kwantowych teoriach pola, w których całka działania jest niezmienna w zbiorze transformacji symetrii (znanych jako transformacje supersymetryczne), których algebry są superalgebrami, superślad ma wiele zastosowań. W takim kontekście superślad macierzy mas dla teorii można zapisać jako sumę po spinach śladów macierzy mas dla cząstek o różnym spinie:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {str} [M ^ {2}] = \ suma _ {s} (-1) ^ {2 s} (2 s + 1) \ nazwa operatora {tr} [m_ {s} ^ {2}] .}$

W teoriach wolnych od anomalii, w których w superpotencjale pojawiają się tylko terminy renormalizowalne, można wykazać, że powyższy superślad znika, nawet gdy supersymetria jest spontanicznie przerywana.

Udział w efektywnym potencjale powstającym w jednej pętli (czasami określany jako potencjał Colemana-Weinberga) można również zapisać za pomocą superśladu. Jeśli jest macierzą mas dla danej teorii, potencjał w jednej pętli można zapisać jako M $\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle V_ {eff} ^ {1-pętla} = {\ dfrac {1} {64 \ pi ^ {2}}} \ operatorname {str} {\ bigg [} M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64 \pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^ {2}}}{\Duży}}-m_{F}^{4}\ln {\Duży (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\ Duży )}{\bigg ]}}$

gdzie i $są odpowiednimi macierzami mas na$ drzewa dla oddzielnych bozonowych i fermionowych stopni swobody w teorii i $}$$displaystyle \$ jest skalą odcięcia.

Zobacz też

• berezyński