Symbol k Pochhammera

W matematycznej teorii funkcji specjalnych symbol k Pochhammera Pochhammera i funkcja k -gamma , wprowadzone przez Rafaela Díaza i Eddy'ego Pariguana, są uogólnieniami symbolu i funkcji gamma . Różnią się one od symbolu Pochhammera i funkcji gamma tym, że można je powiązać z ogólnym postępem arytmetycznym w taki sam sposób, jak te z ciągiem kolejnych liczb całkowitych .

Definicja

k Pochhammera ( x ) _n,k definiuje się jako

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} (x) _ {n, k} i = x (x + k) (x + 2k) \ cdots (x + (n-1) k) = \ prod _ { i=1}^{n}(x+(i-1)k)\\&=k^{n}\times \left({\frac {x}{k}}\right)_{n},\ ,\end{wyrównane}}}$

oraz funkcję k -gamma Γ _k , gdzie k > 0, definiuje się jako

${\ Displaystyle \ Gamma _ {k} (x) = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {n! k ^ {n} (nk) ^ {x / k-1}} {(x) _{n,k}}}.}$

Gdy k = 1, otrzymuje się standardowy symbol Pochhammera i funkcję gamma.

Díaz i Pariguan wykorzystują te definicje do wykazania szeregu właściwości funkcji hipergeometrycznej . Chociaż Díaz i Pariguan ograniczają te symbole do k > 0, definiowany przez nich symbol k Pochhammera jest dobrze zdefiniowany dla wszystkich rzeczywistych k, a dla ujemnego k daje silnię opadającą , podczas gdy dla k = 0 redukuje się do potęgi x ^rz .

W artykule Díaza i Pariguana nie poruszono wielu analogii między symbolem k Pochhammera a funkcją potęgi, takich jak fakt, że twierdzenie o dwumianie można rozszerzyć na k -symbole Pochhammera. Prawdą jest jednak, że wiele równań obejmujących funkcję potęgi x ⁿ nadal obowiązuje, gdy x ⁿ zostanie zastąpione przez ( x ) _{n, k} .

Ciąg dalszy Ułamki zwykłe, kongruencje i równania różnic skończonych

Ułamki J typu Jacobiego dla zwykłej funkcji generującej symbolu k Pochhammera, oznaczone w nieco innej notacji przez ${\ Displaystyle p_ {n} (\ alfa, R): = R (R + \ alfa) \ cdots (R + (n-1) \ alfa)} dla ustalonego α > {\ Displaystyle \$ alfa $\alpha >0$ i jakiś nieokreślony parametr , są rozpatrywane w postaci następnego nieskończonego ciągłego rozwinięcia ułamka podanego przez ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {\ tekst {Conv}} _ {h} (\ alfa, R; z) &: = {\ cfrac {1} {1-R \ cdot z - {\ cfrac {\ alfa R\cdot z^{2}}{1-(R+2\alfa )\cdot z-{\cfrac {2\alfa (R+\alfa )\cdot z^{2}}{1-(R+ 4\alpha )\cdot z-{\cfrac {3\alpha (R+2\alpha)\cdot z^{2}}{\cdots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$

Racjonalna funkcja zbieżna, ${$$}} _ {h} (\ alfa, R;$ } do pełnej funkcji generującej dla tych produktów rozszerzonej o ostatnie równanie podaje wzór

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {\ tekst {Conv}} _ {h} (\ alfa, R; z) &: = {\ cfrac {1} {1-R \ cdot z - {\ cfrac {\ alfa R\cdot z^{2}}{1-(R+2\alfa )\cdot z-{\cfrac {2\alfa (R+\alfa )\cdot z^{2}}{1-(R+ 4\alfa )\cdot z-{\cfrac {3\alfa (R+2\alfa)\cdot z^{2}}{\cfrac {\cdots }{1-(R+2(h-1)\ alfa )\cdot z}}}}}}}}}\\&={\frac {{\text{FP}}_{h}(\alpha,R;z)}{{\text{FQ}} _{h}(\alfa ,R;z)}}=\suma _{n=0}^{2h-1}p_{n}(\alfa ,R)z^{n}+\suma _{n =2h}^{\infty }{\widetilde {e}}_{h,n}(\alpha,R)z^{n},\end{aligned}}}$

gdzie składowe zbieżne sekwencje funkcji ${\ Displaystyle {\ tekst {FP}} _ {h} (\ alfa, R; z)}$ i ${ \ Displaystyle {\ tekst {FQ}} _ {h} (\ alfa, R; z)}$ są podawane jako sumy w postaci zamkniętej w postaci zwykłego symbolu Pochhammera i wielomianów Laguerre'a przez

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {\ tekst {FP}} _ {h} (\ alfa, R; z) & = \ suma _ {n = 0} ^ {h-1} \ lewo [\ suma _ {i=0}^{n}{\binom {h}{i}}(1-hR/\alpha )_{i}(R/\alpha )_{ni}\right](\alpha z)^ {n}\\{\text{FQ}}_{h}(\alpha ,R;z)&=\sum _{i=0}^{h}{\binom {h}{i}}(R /\alpha +hi)_{i}(-\alpha z)^{i}\\&=(-\alpha z)^{h}\cdot h!\cdot L_{h}^{(R/\ alfa -1)}\left((\alpha z)^{-1}\right).\end{aligned}}}$

Racjonalność funkcji $różnic$ dla wszystkich $, w$ rozszerzeń ułamka J, implikuje następujące równania zarówno dokładnie generujące $(x) _ {n, \ alfa}}$$dla$ wszystkich generujące symbol modulo $t \ równoważnik h}$ równoważnik : ${\ Displaystyle h \ alfa ^ {t} }$

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} (x) _ {n, \ alfa} i = \ suma _ {0 \ równoważnik k <n} {\ binom {n} {k + 1}} (-1) ^ { k}(x+(n-1)\alfa )_{k+1,-\alfa }(x)_{n-1-k,\alfa }\\(x)_{n,\alfa }&\ równoważnik \sum _{0\leq k\leq n}{\binom {h}}}\alfa ^{n+(t+1)k}(1-hx/\alfa )_{k}(x/ \alpha )_{nk}&&{\pmod {h\alpha ^{t}}}.\end{aligned}}}$

Racjonalność $_$ kolejne

${\ Displaystyle (x) _ {n, \ alfa} = \ suma _ {j=1}^{h}c_{h,j}(\alfa ,x)\times \ell _{h,j}(\alfa ,x)^{n},}$

gdzie wzór jest rozszerzony w kategoriach zer specjalnych wielomianów Laguerre'a lub równoważnie zlewającej się funkcji hipergeometrycznej , zdefiniowanej jako zbiór skończony (uporządkowany)

${\ Displaystyle \ lewo (\ ell _ {h, j} (\ alfa, x) \ prawo) _ {j = 1} ^ {h} = \ lewo \ {z_ {j}: \ alfa ^ {h} \ razy U\left(-h,{\frac {x}{\alpha }},{\frac {z}{\alpha }}\right)=0,\ 1\równnik j\równoważnik h\prawo\}, }$

i gdzie ${\ displaystyle {\ tekst {Conv} }_{h}(\alfa ,R;z):=\sum _{j=1}^{h}c_{h,j}(\alfa ,x)/(1-\ell _{h,j }(\alpha,x))}$ oznacza $zbieżnej$ rozkład ułamkowy .

$,$ ponieważ funkcje zbieżne przez Laguerre'a jak , możemy dokładnie wygenerować symbol k Pochhammera jako współczynniki szeregu

${\ Displaystyle (x) _ {n, \ alfa} = \ alfa ^ {n} \ cdot [w ^ {n }]\left(\sum _{i=0}^{n+n_{0}-1}{\binom {{\frac {x}{\alpha }}+i-1}{i}}\times {\ Frac {(-1/w)} (i+1)L_{i}^{(x/\alfa -1)}(1/w)L_{i+1}^{(x/\alfa -1)}(1/w)}}\right),}$

dla dowolnej określonej liczby całkowitej. ${\ displaystyle n_ {0} \ geq 0}$ .

Specjalne przypadki

Specjalne przypadki symbolu k Pochhammera odpowiadają następującym szczególnym przypadkom silni opadającej i rosnącej , w tym symbolowi Pochhammera ${\ displaystyle (x) _ {n, k}}$ uogólnionemu ( przypadki wielu funkcji silniowych ( funkcje wieloczynnikowe ) lub -funkcje silni badane w dwóch ostatnich źródłach przez Schmidta: ${\ displaystyle \ alfa}$

• Symbol Pochhammera lub rosnąca funkcja silni: ${\ Displaystyle (x) _ {n,1} \ odpowiednik (x) _ {n}}$
• Funkcja silni opadającej : ${\ Displaystyle (x) _ {n, -1} \ równoważnik x ^ {\ podkreślenie {n}}}$
• Pojedyncza funkcja silni : ${\ Displaystyle n! = (1) _ {n, 1} = (n) _ {n, -1}}$
• Podwójna silnia : ${\ Displaystyle (2n-1) !! = (1) _ {n, 2} = (2n-1) _ {n, -2 }}$
• Funkcje wieloczynnikowe zdefiniowane rekurencyjnie przez ${\ Displaystyle n! _ {(\ alfa)} = n \ cdot (n - \ alfa)! _ {(\ alfa)}}$ dla ${\ Displaystyle \ alfa \ in \ mathbb {Z } ^ {+}}$ i pewne przesunięcie ${\ displaystyle 0 \ równoważnik d <\ alfa}$ : ${\ Displaystyle (\ alfa nd)! _ {(\ alfa)} = (\ alfa -d) _ {n, \alpha }=(\alpha nd)_{n,-\alpha }}$ i ${\ Displaystyle n! _ {(\ alfa)} = (n) _ {\ lfloor (n + \ alfa -1) / \ alfa \ rfloor, - \ alfa}}$

Rozszerzenia tych produktów związanych z symbolem k $k$ terminowo w odniesieniu do współczynników potęg ( $równoważnik k \ równoważnik n$ ) dla każdego skończonego $zdefiniowane$ w artykule o uogólnionych Stirlinga pierwszego rodzaju i uogólnionych wielomianach Stirlinga (splot) w