To jest tabela ortonormalizowanych sferycznych harmonicznych , które wykorzystują fazę Condona-Shortleya do stopnia
ℓ = 10
{\ displaystyle \ ell = 10}
x , y , z i r . Dla celów tej tabeli przydatne jest wyrażenie zwykłych sferycznych na kartezjańskie , które wiążą te składowe kartezjańskie z
θ
{\ displaystyle \ theta}
φ
{\ displaystyle \ varphi}
{
sałata ( θ )
= z
/
r
mi
± ja φ
⋅ grzech ( θ )
= ( x ± ja y )
/
r
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ cos (\ teta) & = z / r \ \e^{\pm i\varphi }\cdot \sin(\theta )&=(x\pm iy)/r\end{przypadki}}}
Zawartość
1 Złożone sferyczne harmoniczne
1,1 ℓ = 0 1,2 ℓ = 1 1,3 ℓ = 2 1,4 ℓ = 3 1,5 l = 4 1,6 ℓ = 5 1,7 ℓ = 6 1,8 ℓ = 7 1,9 ℓ = 8 1,10 ℓ = 9 1,11 ℓ = 10
2 Wizualizacja złożonych harmonicznych sferycznych
3 Prawdziwe sferyczne harmoniczne
4 Wizualizacja rzeczywistych harmonicznych sferycznych
5 Zobacz też 6 Linki zewnętrzne
7 Referencje
Złożone harmoniczne sferyczne
Dla ℓ = 0, …, 5, zob.
ℓ = 0
Y
0
0
( θ , φ ) =
1 2
1 π
{\ Displaystyle Y_ {0} ^ {0} (\ teta, \ varphi) = {1 \ ponad 2} {\ sqrt {1 \ ponad \ pi}}}
ℓ = 1
Y
1
- 1
( θ , φ )
=
1 2
3
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ
=
1 2
3
2 π
⋅
( x - ja y )
r
Y
1
0
( θ , φ )
=
1 2
3 π
⋅ sałata
θ
=
1 2
3 π
⋅
z r
Y
1
1
( θ , φ )
=
-
1 2
3
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ
=
-
1 2
3
2 π
⋅
( x + ja y )
r
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {1} ^ {- 1} (\ teta, \ varphi) & = && {1 \ ponad 2} {\ sqrt {3 \ ponad 2 \ pi}} \ cdot e ^ {-i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}\\Y_{1 }^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}\\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \ ponad 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+ iy) \over r}\end{wyrównane}}}
ℓ = 2
Y
2
- 2
( θ , φ )
=
1 4
15
2 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ
=
1 4
15
2 π
⋅
( x - ja y
)
2
r
2
Y
2
- 1
( θ , φ )
=
1
2
15
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ sałata θ
=
1 2
15
2 π
⋅
( x - ja y ) ⋅ z
r
2
Y
2
0
( θ , φ )
=
1 4
5 π
⋅ ( 3
sałata
2
θ
- 1 )
=
1 4
5 π
⋅
( 3
z
2
-
r
2
)
r
2
Y
2
1
( θ , φ )
=
-
1 2
15
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ sałata θ
=
-
1 2
15
2 π
⋅
( x + ja y ) ⋅ z
r
2
Y
2
2
( θ , φ )
=
1 4
15
2 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ
=
1 4
15
2 π
⋅
( x + ja y
)
2
r
2
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {2} ^ {- 2} (\ teta, \ varphi) & = && {1 \ ponad 4} {\ sqrt {15 \ ponad 2 \ pi}} \ cdot e ^ {-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2 } \over r^{2}}&\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\ cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x- iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi} }\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot {(3z^{2}-r^ {2}) \over r^{2}}&\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\ pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\ cdot {(x+iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi)&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi}\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\ cdot {(x+iy)^{2} \over r^{2}}&\end{wyrównane}}}
ℓ = 3
Y
3
- 3
( θ , φ )
=
1 8
35 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ
=
1 8
35 π
⋅
( x - ja y
)
3
r
3
Y
3
- 2
( θ , φ )
=
1 4
105
2 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ sałata θ
=
1 4
105
2 π
⋅
( x - ja y
)
2
⋅ z
r
3
Y
3
- 1
( θ , φ )
=
1 8
21 π
⋅
e
- ja
φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 5
sałata
2
θ - 1 )
=
1 8
21 π
⋅
( x - ja y ) ⋅ ( 5
z
2
-
r
2
)
r
3
Y
3
0
( θ , φ )
=
1 4
7 π
⋅ ( 5
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
=
1 4
7 π
⋅
( 5
z
3
- 3 z
r
2
)
r
3
Y
3
1
( θ , φ )
=
-
1 8
21 π
⋅ mi
ja
φ ⋅
grzech θ ⋅ ( 5
sałata
2
θ - 1 )
=
- 1
8
21 π
⋅
( x + ja y ) ⋅ ( 5
z
2
-
r
2
)
r
3
Y
3
2
( θ , φ )
=
1 4
105
2 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ sałata θ
=
1 4
105
2 π
⋅
( x + ja y
)
2
⋅ z
r
3
Y
3
3
( θ , φ )
=
-
1 8
35 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ
=
- 1
8
35
π
⋅
( x + ja y
)
3
r
3
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {3} ^ {-3} (\ theta, \ varphi) & = && {1 \ ponad 8} {\ sqrt {35 \ ponad \ pi}} \ cdot e ^ { -3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x-iy)^{3} \ nad r^{3}}&\\Y_{3}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e ^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {( x-iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi}}\cdot e^{-i\varphi}\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 8} {\sqrt {21 \over \pi}}\cdot {(x-iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^ {0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\ quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot {(5z^{3}-3zr^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{ 3}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x+iy)\cdot (5z ^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt { 105 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \ nad 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{3}(\theta ,\varphi )&=& -&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi}}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{-1 \over 8} {\sqrt {35 \over \pi}}\cdot {(x+iy)^{3} \over r^{3}}&\end{wyrównane}}}
ℓ = 4
Y
4
- 4
( θ , φ )
=
3 16
35
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ =
3 16
35
2 π
⋅
( x - ja y
)
4
r
4
Y
4
- 3
( θ , φ )
=
3
8
35 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ sałata θ =
3 8
35 π
⋅
( x - ja y
)
3
z
r
4
Y
4
- 2
( θ , φ )
=
3 8
5
2 π
⋅
e
- 2
ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 7
sałata
2
θ - 1 ) =
3 8
5
2 π
⋅
( x - ja y
)
2
⋅ ( 7
z
2
-
r
2
)
r
4
Y
4
- 1
( θ , φ )
=
3
8
5 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 7
sałata
3
θ - 3 sałata θ ) =
3 8
5 π
⋅
( x - ja y ) ⋅ ( 7
z
3
- 3 z
r
2
)
r
4
Y
4
0
(
θ , φ )
=
3 16
1 π
⋅ ( 35
sałata
4
θ - 30
sałata
2
θ + 3 ) =
3 16
1 π
⋅
( 35
z
4
- 30
z
2
r
2
+ 3
r
4
)
r
4
Y
4
1
( θ
, φ )
=
- 3
8
5 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 7
sałata
3
θ - 3 sałata θ ) =
- 3
8
5 π
⋅
( x + ja y ) ⋅ ( 7
z
3
- 3 z
r
2
)
r
4
Y
4
2
( θ , φ )
=
3 8
5
2 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 7
sałata
2
θ - 1 ) =
3 8
5
2 π
⋅
( x + ja y
)
2
⋅ (
7
z
2
-
r
2
)
r
4
Y
4
3
( θ , φ )
=
- 3
8
35 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ sałata θ =
- 3
8
35 π
⋅
( x + ja y
)
3
zr
_
4
Y
4
4
( θ , φ )
=
3 16
35
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ =
3 16
35
2 π
⋅
( x + ja y
)
4
r
4
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {4} ^ {- 4} (\ teta, \ varphi) & = {3 \ ponad 16} {\ sqrt {35 \ ponad 2 \ pi}} \ cdot e ^ { -4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi}}}\cdot {\frac {(x -iy)^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {35 \over \ pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{ \pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-2}(\theta,\varphi)&= {3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi}}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi}}}\cdot {\frac {(x-iy)^{2}\cdot (7z^ {2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {3}{8 }}{\sqrt {\frac {5}{\pi}}}\cdot {\frac {(x-iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4} }}\\Y_{4}^{0}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {1 \over \pi }}\cdot (35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi}}}\cdot {\frac {(35z^{4 }-30z^{2}r^{2}+3r^{4})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )= {\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi}}}\cdot {\frac {(x+iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2 })}{r^{4}}}\\Y_{4}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac { 5}{2\pi}}}\cdot {\frac {(x+iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\ Y_{4}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi}}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{ 3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi}}}\cdot {\frac {(x+iy)^{ 3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \ponad 16}{\sqrt {35 \ponad 2\pi }}\ cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi}}}\cdot {\frac {(x+iy)^{4}}{r^{4}}}\end{wyrównane}}}
ℓ = 5
Y
5
- 5
( θ , φ )
=
3 32
77 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ
Y
5
- 4
( θ , φ )
=
3 16
385
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ sałata
θ
Y
5
- 3
( θ , φ )
=
1 32
385 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 9
sałata
2
θ - 1 )
Y
5
- 2
( θ , φ )
=
1 8
1155
2 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 3
sałata
3
θ - sałata θ )
Y
5
- 1
( θ , φ )
=
1 16
165
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 21
sałata
4
_
θ - 14
sałata
2
θ + 1 )
Y
5
0
( θ , φ )
=
1 16
11 π
⋅ ( 63
sałata
5
θ - 70
sałata
3
θ + 15 sałata θ )
Y
5
1
( θ , φ )
=
− 1
16
165
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 21
sałata
4
θ - 14
sałata
2
θ + 1 )
Y
5
2
( θ , φ )
=
1 8
1155
2 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ
⋅ ( 3
sałata
3
θ - sałata θ )
Y
5
3
( θ , φ )
=
- 1
32
385 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 9
sałata
2
θ - 1 )
Y
5
4
( θ , φ
)
=
3 16
385
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ sałata θ
Y
5
5
( θ , φ )
=
- 3
32
77 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {5} ^ {- 5} (\ teta, \ varphi) & = {3 \ ponad 32} {\ sqrt {77 \ ponad \ pi}} \ cdot e ^ {- 5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \\Y_{5}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{-3}(\theta,\varphi)&={1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi}}\cdot e^{-3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{5}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi}}\cdot e^{-i\varphi}\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2} \theta +1)\\Y_{5}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {11 \over \pi }}\cdot (63\cos ^{5 }\theta -70\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{5}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \ponad 16}{\sqrt { 165 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\ Y_{5}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{ 2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \ponad 32}{\ sqrt {385 \over \pi}}\cdot e^{3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^ {4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi}}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \ cdot \cos \theta \\Y_{5}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi}}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \end{wyrównane}}}
ℓ = 6
Y
6
- 6
( θ , φ )
=
1 64
3003 π
⋅
mi
- 6 ja φ
⋅
grzech
6
θ
Y
6
- 5
( θ , φ )
=
3 32
1001 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ cos
θ
Y
6
- 4
( θ , φ )
=
3 32
91
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 11
sałata
2
θ - 1 )
Y
6
- 3
( θ , φ )
=
1 32
1365 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 11
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
6
- 2
( θ , φ )
=
1 64
1365 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 33
cos
4
θ - 18
sałata
2
θ + 1 )
Y
6
- 1
( θ , φ )
=
1 16
273
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 33
sałata
5
θ - 30
sałata
3
θ + 5 cos
θ )
Y
6
0
( θ , φ )
=
1 32
13 π
⋅ ( 231
sałata
6
θ - 315
sałata
4
θ + 105
sałata
2
θ - 5 )
Y
6
1
( θ , φ )
= -
1 16
273
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 33
sałata
5
θ - 30
sałata
3
θ + 5 sałata θ )
Y
6
2
( θ , φ )
=
1 64
1365 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ (
33
sałata
4
θ - 18
sałata
2
θ + 1 )
Y
6
3
( θ , φ )
= -
1 32
1365 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 11 sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
6
4
( θ , φ )
=
3 32
91
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 11
sałata
2
θ - 1 )
Y
6
5
( θ , φ )
= -
3 32
1001 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ sałata θ
Y
6
6
( θ , φ )
=
1 64
3003 π
⋅
mi
6 ja φ
⋅
grzech
6
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {6} ^ {- 6} (\ teta, \ varphi) & = {1 \ ponad 64} {\ sqrt {3003 \ ponad \ pi}} \ cdot e ^ {- 6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \\Y_{6}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi} }\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \ ponad 32}{\sqrt {91 \ponad 2\pi}}\cdot e^{-4i\varphi}\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{6}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi}}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \ sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \ponad 64}{\sqrt {1365 \over \pi}}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^ {2}\theta +1)\\Y_{6}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^ {-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{0 }(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {13 \over \pi }}\cdot (231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta + 105\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{6}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }} \cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6} ^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi}}\cdot e^{2i\varphi}\cdot \sin ^{2}\theta \ cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{1 \ponad 32} {\sqrt {1365 \over \pi}}\cdot e^{3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta)\ \Y_{6}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^ {4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{5}(\theta,\varphi)&=-{3 \over 32}{\sqrt { 1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{6}(\theta,\varphi)& ={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi}}\cdot e^{6i\varphi}\cdot \sin ^{6}\theta \end{wyrównane}}}
ℓ = 7
Y
7
- 7
( θ , φ )
=
3 64
715
2 π
⋅
mi
- 7 ja φ
⋅
grzech
7
θ
Y
7
- 6
( θ , φ )
=
3 64
5005 π
⋅
mi
- 6 ja φ
⋅
grzech
6
θ ⋅
sałata θ
Y
7
- 5
( θ , φ )
=
3 64
385
2 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 13
sałata
2
θ - 1 )
Y
7
- 4
( θ , φ )
=
3 32
385
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 13
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
7
- 3
( θ , φ )
=
3 64
35
2 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅
( 143
sałata
4
θ - 66
sałata
2
θ + 3 )
Y
7
- 2
( θ , φ )
=
3 64
35 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 143
sałata
5
θ - 110
sałata
3
_
θ + 15 sałata θ )
Y
7
- 1
( θ , φ )
=
1 64
105
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 429 sałata
6
θ - 495 sałata
4
θ + 135
sałata
2 θ − 5
)
Y
7
0
( θ , φ )
=
1 32
15 π
⋅ ( 429
sałata
7
θ - 693
sałata
5
θ + 315
sałata
3
θ - 35 sałata θ )
Y
7
1
( θ , φ )
= -
1 64
105
2
π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 429
sałata
6
θ - 495
sałata
4
θ + 135
sałata
2
θ - 5 )
Y
7
2
( θ , φ )
=
3 64
35 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 143
sałata
5
θ - 110
sałata
3
θ + 15 sałata θ )
Y
7
3
( θ , φ )
= -
3 64
35
2 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 14 3
cos
4
_
θ - 66
sałata
2
θ + 3 )
Y
7
4
( θ , φ )
=
3 32
385
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 13
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
7
5
( θ
, φ )
= -
3 64
385
2 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 13
sałata
2
θ - 1 )
Y
7
6
( θ , φ )
=
3 64
5005 π
⋅
mi
6 ja φ
⋅
grzech
6
_
θ ⋅ sałata θ
Y
7
7
( θ , φ )
= -
3 64
715
2 π
⋅
mi
7 ja φ
⋅
grzech
7
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {7} ^ {-7} (\ teta, \ varphi) & = {3 \ ponad 64} {\ sqrt {715 \ ponad 2 \ pi}} \ cdot e ^ { -7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \\Y_{7}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{-5}(\theta,\varphi)&={3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi}}\cdot e^{-5i\varphi}\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1 )\\Y_{7}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\ cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{-3}(\theta,\varphi)&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi}}\cdot e^{-3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66 \cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi}}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_ {7}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \ theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{0}(\theta , \varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {15 \over \pi}}\cdot (429\cos ^{7}\theta -693\cos ^{5}\theta +315\cos ^{ 3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{7}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\ cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\ \Y_{7}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi}}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{ 2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{3}(\theta ,\varphi ) &=-{3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi}}\cdot e^{3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4} \theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{5} (\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi}}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot ( 13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{7}(\theta ,\varphi )&=-{3 \ponad 64}{ \sqrt {715 \over 2\pi}}\cdot e^{7i\varphi}\cdot \sin ^{7}\theta \end{wyrównane}}}
ℓ = 8
Y
8
- 8
( θ , φ )
=
3 256
12155
2 π
⋅
mi
- 8 ja φ
⋅
grzech
8
θ
Y
8
- 7
( θ , φ )
=
3 64
12155
2 π
⋅
mi
- 7 ja φ
⋅
grzech
7
θ
⋅ sałata θ
Y
8
- 6
( θ , φ )
=
1 128
7293 π
⋅
mi
- 6 ja φ
⋅
grzech
6
θ ⋅ ( 15
sałata
2
θ - 1 )
Y
8
- 5
( θ , φ )
=
3 64
17017
2 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 5
sałata
3
θ - sałata θ )
Y
8
- 4
( θ , φ )
=
3 128
1309
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅
( 65
sałata
4
θ - 26
sałata
2
θ + 1 )
Y
8
- 3
( θ , φ )
=
1 64
19635
2 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 39
sałata
5
θ - 26
cos
3
θ + 3 cos θ )
y
8
- 2
( θ , φ )
=
3 128
595 π
⋅
e
- 2 i φ
⋅
sin
2
θ ⋅ ( 143
cos
6
θ - 143
cos
4
θ + 33
cos
2
θ
- 1 )
Y
8
- 1
( θ , φ )
=
3 64
17
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 715 sałata
7
θ - 1001 sałata
5
θ + 385
sałata
3
θ - 35 sałata θ )
Y
8
0
( θ , φ )
=
1 256
17 π
⋅ ( 6435
sałata
8
θ - 12012
sałata
6
θ + 6930
sałata
4
θ - 1260
sałata
2
θ + 35 )
Y
8
1
( θ , φ )
=
− 3
64
17
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 715
sałata
7
θ - 1001
sałata
5
θ + 385
sałata
3
θ - 35 sałata θ )
Y
8
2
( θ , φ )
=
3 12 8
595 π
⋅
e
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 143
sałata
6
θ - 143
sałata
4
θ + 33
sałata
2
θ - 1 )
Y
8
3
( θ , φ )
=
- 1
64
19635
2 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 39
sałata
5
θ - 26
sałata
3
θ + 3 sałata θ )
Y
8
4
( θ , φ )
=
3 128
1309
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 6 5
cos
4
_
θ - 26
sałata
2
θ + 1 )
Y
8
5
( θ , φ )
=
- 3
64
17017
2 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 5
sałata
3
θ - sałata θ )
Y
8
6
( θ
, φ )
=
1 128
7293 π
⋅
mi
6 ja φ
⋅
grzech
6
θ ⋅ ( 15
sałata
2
θ - 1 )
Y
8
7
( θ , φ )
=
- 3
64
12155
2 π
⋅
mi
7 ja φ
⋅
grzech
7
_
θ ⋅ sałata θ
Y
8
8
( θ , φ )
=
3 256
12155
2 π
⋅
mi
8 ja φ
⋅
grzech
8
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {8} ^ {- 8} (\ teta, \ varphi) & = {3 \ ponad 256} {\ sqrt {12155 \ ponad 2 \ pi}} \ cdot e ^ { -8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \\Y_{8}^{-7}(\theta ,\varphi)&={3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\ pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{-6}(\theta,\varphi)&={ 1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi}}\cdot e^{-6i\varphi}\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1 )\\Y_{8}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\ cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{-4}(\theta,\varphi)&={3 \ ponad 128}{\sqrt {1309 \ponad 2\pi}}\cdot e^{-4i\varphi}\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\ cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_ {8}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi}}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{ 2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-1} (\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^ {7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{0}(\theta ,\varphi )& ={1 \over 256}{\sqrt {17 \over \pi}}\cdot (6435\cos ^{8}\theta -12012\cos ^{6}\theta +6930\cos ^{4}\theta -1260\cos ^{2}\theta +35)\\Y_{8}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi } }\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35 \cos \theta )\\Y_{8}^{2}(\theta,\varphi)&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi}}\cdot e^{2i\varphi} \cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8 }^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3} \theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{4}(\theta ,\varphi )&= {3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi}}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta - 26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }} \cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi}}\cdot e^{6i\varphi}\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{ 2}\theta -1)\\Y_{8}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{ 7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{8}(\theta ,\varphi)&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi}\cdot \sin ^{8}\theta \end{aligned}}}
ℓ = 9
Y
9
- 9
( θ , φ )
=
1 512
230945 π
⋅
mi
- 9 ja φ
⋅
grzech
9
θ
Y
9
- 8
( θ , φ )
=
3 256
230945
2 π
⋅
mi
- 8 ja φ
⋅
grzech
8
θ ⋅
sałata θ
Y
9
- 7
( θ , φ )
=
3 512
13585 π
⋅
mi
- 7 ja φ
⋅
grzech
7
θ ⋅ ( 17
sałata
2
θ - 1 )
Y
9
- 6
( θ , φ )
=
1 128
40755 π
⋅
mi
- 6 ja φ
⋅
grzech
6
θ ⋅ ( 17
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
9
- 5
( θ , φ )
=
3 256
2717 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 85
sałata
4
θ - 30
sałata
2
θ + 1 )
Y
9
- 4
( θ , φ )
=
3 128
95095
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 17
sałata
5
θ - 10
sałata
3
θ
+ sałata θ )
Y
9
- 3
( θ , φ )
=
1 256
21945 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 221 sałata
6
θ - 195 sałata
4
−
θ + 39
sałata
2
θ 1 )
Y
9
- 2
( θ , φ )
=
3 128
1045 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 221 sałata
7
θ - 273
sałata
5
θ + 91
sałata
3
θ - 7 sałata θ )
Y
9
- 1
( θ , φ )
=
3 256
95
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 2431
sałata
8
θ - 4004 sałata
6
θ + 2002
sałata
4
θ - 308
sałata
2
θ + 7 )
Y
9
0
( θ , φ )
=
1 256
19 π
⋅ ( 12155
sałata
9
θ - 25740
sałata
7
θ + 18018
5
3
θ - 4620
sałata
φ
θ + 315 sałata θ )
Y
9
1
( θ ,
sałata
)
=
−
3
256
95
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 2431
sałata
8
θ - 4004
sałata
6
θ + 2002
,
4
θ - 308
sałata
2
θ + 7 )
Y
9
2
( θ
sałata
φ )
=
3
128
1045 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 221
sałata
7
θ - 273
sałata
5
θ + 91
sałata
3
θ - 7 sałata θ )
Y
9
3
( θ , φ )
=
- 1
256
21945
π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 221
sałata
6
θ - 195
sałata
4
θ + 39
sałata
2
θ - 1 )
Y
9
4
( θ , φ )
=
3 128
95095
2 π
⋅
e
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 17
sałata
5
θ - 10
sałata
3
θ + sałata θ )
Y
9
5
( θ , φ )
=
- 3
256
2717 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 85
cos
4
θ - 30
cos
2
θ + 1 )
y
9
6
( θ , φ )
=
1 128
40755 π
⋅
e
6 i φ
⋅
sin
6
θ ⋅ ( 17
cos
3
θ - 3 cos θ )
y 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
7
7
( θ
, φ )
=
- 3
512
13585 π
⋅
mi
7 ja φ
⋅
grzech
7
θ ⋅ ( 17
sałata
2
θ - 1 )
Y
9
8
( θ , φ )
=
3 256
230945
2 π
⋅
mi
8 ja φ
⋅
grzech
8
_
θ ⋅ sałata θ
Y
9
9
( θ , φ )
=
- 1
512
230945 π
⋅
mi
9 ja φ
⋅
grzech
9
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {9} ^ {- 9} (\ teta, \ varphi) & = {1 \ ponad 512} {\ sqrt {230945 \ ponad \ pi}} \ cdot e ^ {- 9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \\Y_{9}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{-7}(\theta,\varphi)&={3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi}}\cdot e^{-7i\varphi}\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{9}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \ sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \ponad 256}{\sqrt {2717 \over \pi}}\cdot e^{-5i\varphi}\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^ {2}\theta +1)\\Y_{9}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^ {-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9} ^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi}}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\ theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi}}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^ {7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{-1}(\theta ,\varphi ) &={3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi}}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004 \cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{0}(\theta ,\varphi )&= {1 \over 256}{\sqrt {19 \over \pi}}\cdot (12155\cos ^{9}\theta -25740\cos ^{7}\theta +18018\cos ^{5}\theta - 4620\cos ^{3}\theta +315\cos \theta )\\Y_{9}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2 \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\ theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi}} \cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\ theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{3}(\theta,\varphi)&={-1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi}}\cdot e^{ 3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\ \Y_{9}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^ {4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{5}(\theta,\varphi) &={-3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi}}\cdot e^{5i\varphi}\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\ theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi}} \cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{7}(\ theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi}}\cdot e^{7i\varphi}\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^ {8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{9}(\theta,\varphi)&={-1 \ponad 512}{\sqrt {230945 \over \pi}}\cdot e^{9i\varphi}\cdot \sin ^{9}\theta \end{wyrównane}}}
ℓ = 10
Y
10
- 10
( θ , φ )
=
1 1024
969969 π
⋅
mi
- 10 ja φ
⋅
grzech
10
θ
Y
10
- 9
( θ , φ )
=
1 512
4849845 π
⋅
mi
- 9 ja φ
⋅
grzech
9
θ ⋅
sałata θ
Y
10
- 8
( θ , φ )
=
1 512
255255
2 π
⋅
mi
- 8 ja φ
⋅
grzech
8
θ ⋅ ( 19
sałata
2
θ - 1 )
Y
10
- 7
( θ , φ )
=
3 512
85085
π
⋅
e
- 7 i φ
⋅
sin
7
θ ⋅ ( 19
cos
3
θ - 3 cos θ )
y
10
- 6
( θ , φ )
=
3 1024
5005 π
⋅
e
- 6 i φ
⋅
sin
6
θ ⋅ (
323
sałata
4
θ - 102
sałata
2
θ + 3 )
Y
10
- 5
( θ , φ )
=
3 256
1001 π
⋅
mi
- 5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 323
sałata
sałata
5
θ - 170 3 θ
+ 15 sałata θ )
Y
10
- 4
( θ , φ )
=
3 256
5005
2 π
⋅
mi
- 4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 323 sałata
6
θ - 255
sałata
4
θ + 45 sałata
2
θ- _
1 )
Y
10
- 3
( θ , φ )
=
3 256
5005 π
⋅
mi
- 3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 323
sałata
7
θ - 357 sałata
5
θ + 105
sałata
3
θ - 7 sałata θ )
Y
10
- 2
( θ , φ )
=
3 512
385
2 π
⋅
mi
- 2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 4199
sałata
8
θ - 6188
sałata
6
θ + 2730
sałata
4
θ - 364
sałata
2
_ θ
+ 7 )
Y
10
- 1
( θ , φ )
=
1 256
1155
2 π
⋅
mi
- ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 4199 sałata
9
θ - 7956 sałata
7
θ + 4914
sałata
5
θ - 109 2
cos
3
θ + 63 sałata θ )
Y
10
0
( θ , φ )
=
1 512
21 π
⋅ ( 46189
sałata
10
θ - 109395 sałata
+
8
θ + 90090 sałata
6
4
θ - 30030
sałata
θ 3465
sałata
2
θ
- 63 )
Y
10
1
( θ , φ )
=
- 1
256
1155
2 π
⋅
mi
ja φ
⋅ grzech θ ⋅ ( 4199
sałata
5
9
sałata
θ - 7956
sałata
7
θ + 4914 θ - 109 2
sałata
3
θ
+ 63 sałata θ )
Y
10
2
( θ , φ )
=
3 512
385
2 π
⋅
mi
2 ja φ
⋅
grzech
2
θ ⋅ ( 4199 sałata
8
6
θ - 6188
sałata
θ + 2730
sałata
4
θ - 364
sałata
2
θ + 7 )
Y
10
3
( θ , φ )
=
- 3
256
5005 π
⋅
mi
3 ja φ
⋅
grzech
3
θ ⋅ ( 323
sałata
7
θ - 357
sałata
5
θ + 105
sałata
3
θ − 7
sałata θ )
Y
10
4
( θ , φ )
=
3 256
5005
2 π
⋅
mi
4 ja φ
⋅
grzech
4
θ ⋅ ( 323 sałata
6
θ - 255
sałata
4
θ + 45
sałata
2
θ - 1 )
Y
10
5
( θ , φ )
=
- 3
256
1001 π
⋅
mi
5 ja φ
⋅
grzech
5
θ ⋅ ( 323
sałata
5
θ - 170
sałata
3
θ + 15 sałata θ )
Y
10
6
( θ , φ )
=
3 1024
5005 π
⋅
mi
6 ja φ
⋅
grzech
6
θ ⋅ ( 323
sałata
4
θ - 102
sałata
2
θ + 3 )
Y
10
7
( θ , φ )
=
- 3
512
85085 π
⋅
mi
7 ja φ
⋅
grzech
7
θ
⋅ ( 19
sałata
3
θ - 3 sałata θ )
Y
10
8
( θ , φ )
=
1 512
255255
2 π
⋅
mi
8 ja φ
⋅
grzech
8
θ ⋅ ( 19
sałata
2
θ - 1 )
Y
10
9
( θ
, φ )
=
- 1
512
4849845 π
⋅
mi
9 ja φ
⋅
grzech
9
θ ⋅ sałata θ
Y
10
10
( θ , φ )
=
1 1024
969969 π
⋅
mi
10 ja φ
⋅
grzech
10
θ
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {10} ^ {-10} (\ teta, \ varphi) & = {1 \ ponad 1024} {\ sqrt {969969 \ ponad \ pi}} \ cdot e ^ {- 10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \\Y_{10}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi} }\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{-8}(\theta ,\varphi )&={1 \ ponad 512}{\sqrt {255255 \ponad 2\pi}}\cdot e^{-8i\varphi}\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{10}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi}}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \ sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \ponad 1024}{\sqrt {5005 \over \pi}}\cdot e^{-6i\varphi}\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^ {2}\theta +3)\\Y_{10}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{ -5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10} ^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi}}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4} \theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-3}(\ theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi}}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi}}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8 }\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi}}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9} \theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{0}( \theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {21 \over \pi}}\cdot (46189\cos ^{10}\theta -109395\cos ^{8}\theta +90090\ cos ^{6}\theta -30030\cos ^{4}\theta +3465\cos ^{2}\theta -63)\\Y_{10}^{1}(\theta ,\varphi )&={ -1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi}}\cdot e^{i\varphi}\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^ {7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{2}(\theta ,\varphi )& ={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi}}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{3}(\theta ,\varphi ) &={-3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi}}\cdot e^{3i\varphi}\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\ theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \ ponad 256}{\sqrt {5005 \ponad 2\pi}}\cdot e^{4i\varphi}\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \ponad 256}{\sqrt {1001 \over \pi}}\cdot e^{5i\varphi}\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\ cos \theta )\\Y_{10}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi}}\cdot e^{6i\varphi }\ cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi}}\cdot e^{7i\varphi}\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3} \theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{8}(\theta,\varphi)&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^ {8i\varphi}\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{9}(\theta,\varphi)&={ -1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi}}\cdot e^{9i\varphi}\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{ 10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \end{ wyrównany}}}
Wizualizacja złożonych harmonicznych sferycznych
Mapy kątów biegunowych/azymutalnych 2D
Poniżej złożone
na
na
harmoniczne
Wizualna tablica złożonych harmonicznych sferycznych reprezentowana jako mapy 2D Theta/Phi
Działki polarne
Poniżej złożone sferyczne harmoniczne są reprezentowane na wykresach biegunowych. Wielkość sferycznej harmonicznej pod określonymi kątami biegunowymi i azymutalnymi jest reprezentowana przez nasycenie koloru w tym punkcie, a faza jest reprezentowana przez odcień w tym punkcie.
Wizualna tablica złożonych harmonicznych sferycznych reprezentowana za pomocą wykresu biegunowego
Wykresy biegunowe z wielkością jako promieniem
Poniżej złożone sferyczne harmoniczne są reprezentowane na wykresach biegunowych. Wielkość sferycznej harmonicznej pod określonym kątem biegunowym i azymutalnym jest reprezentowana przez promień wykresu w tym punkcie, a faza jest reprezentowana przez odcień w tym punkcie.
Wizualna tablica złożonych harmonicznych sferycznych reprezentowana za pomocą wykresu biegunowego z wielkością odwzorowaną na promień
Prawdziwe harmoniczne sferyczne
podawany jest również odpowiedni symbol orbity atomowej ( s , p , d , f ).
Dla ℓ = 0, …, 3, zob.
ℓ = 0
Y
00
= s =
Y
0
0
=
1 2
1 π
{\ Displaystyle Y_ {00} = s = Y_ {0} ^ {0} = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ Frac {1} \Liczba Pi }}}}
ℓ = 1
Y
1 , - 1
=
p
y
= ja
1 2
(
Y
1
- 1
+
Y
1
1
)
=
3
4 π
⋅
y r
Y
1 ,
0
=
p
z
=
Y
1
0
=
3
4 π
⋅
z r
Y
1 , 1
=
p
x
=
1 2
(
Y
1
- 1
-
Y
1
1
)
=
3
4 π
⋅
x r
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {1, -1} i = p_ {y} = ja {\ sqrt {\ Frac { 1}{2}}}\left(Y_{1}^{-1}+Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi}}}\cdot {\frac {y}{r}}\\Y_{1,0}&=p_{z}=Y_{1}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi}}} \cdot {\frac {z}{r}}\\Y_{1,1}&=p_{x}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{1}^{ -1}-Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi}}}\cdot {\frac {x}{r}}\end{wyrównane}} }
ℓ = 2
Y
2 , - 2
=
re
x y
= ja
1 2
(
Y
2
- 2
-
Y
2
2
)
=
1 2
15 π
⋅
x y
r
2
Y
2 , - 1
=
re
y z
= ja
1 2
(
Y
2
- 1
+
T
2
1
)
=
1 2
15 π
⋅
y ⋅ z
r
2
Y
2 ,
0
=
re
z
2
=
Y
2
0
=
1 4
5 π
⋅
3
z
2
-
r
2
r
2
Y
2 , 1
=
re
x z
=
1 2
(
Y
2
−
1
-
Y
2
1
)
=
1 2
15 π
⋅
x ⋅ z
r
2
Y
2 , 2
=
re
x
2
-
y
2
=
1 2
(
Y
2
- 2
+
Y
2
2
)
=
1 4
15 π
⋅
x
2
-
y
2
r
2
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {2, -2} & = d_ {xy} = i {\ sqrt {\ Frac {1} {2}}} \ lewo (Y_ {2} ^ {-2} -Y_{2}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi}}}\cdot {\frac {xy}{r^{ 2}}}\\Y_{2,-1}&=d_{yz}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}+Y_{ 2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi}}}\cdot {\frac {y\cdot z}{r^{ 2}}}\\Y_{2,0}&=d_{z^{2}}=Y_{2}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5 }{\pi}}}\cdot {\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{2}}}\\Y_{2,1}&=d_{xz}={\ sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}-Y_{2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi}}}\cdot {\frac {x\cdot z}{r^{2}}}\\Y_{2,2}&=d_{x^{2}-y ^{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-2}+Y_{2}^{2}\right)={\frac {1 }{4}}{\sqrt {\frac {15}{\pi}}}\cdot {\frac {x^{2}-y^{2}}{r^{2}}}\end{wyrównane }}}
ℓ = 3
Y
3 , - 3
=
fa
y ( 3
x
2
-
y
2
)
= ja
1 2
(
Y
3
- 3
+
Y
3
3
)
=
1 4
35
2 π
⋅
y
(
3
x
2
-
y
2
)
r
3
Y
3 , − 2
=
fa
x y z
= ja
1 2
(
Y
3
- 2
-
Y
3
2
)
=
1 2
105 π
⋅
x y ⋅ z
r
3
Y
3 , - 1
=
fa
y
z
2
= ja
1 2
(
Y
3
- 1
+
Y
3
1
)
=
1 4
21
2 π
⋅
y ⋅ ( 5
z
2
-
r
2
)
r
3
Y
3 ,
0
=
fa
z
3
=
Y
3
0
=
1 4
7 π
⋅
5
z
3
- 3 z
r
2
r
3
Y
3 , 1
=
ż
x
z
2
=
1 2
(
Y
3
- 1
-
Y
3
1
)
=
1 4
21
2 π
⋅
x ⋅ ( 5
z
2
-
r
2
)
r
3
Y
3 , 2
=
fa
z (
x
2
-
y
2
)
=
1 2
(
Y
3
- 2
+
Y
3
2
)
=
1 4
105 π
⋅
(
x
2
-
y
2
)
⋅ z
r
3
Y
3 , 3
=
fa
x (
x
2
- 3
y
2
)
=
1 2
(
Y
3
- 3
-
Y
3
3
)
=
1 4
35
2 π
⋅
x
(
x
2
- 3
y
2
)
r
3
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {3, -3} & = f_ {y (3x ^ {2} -y ^ {2})} = ja {\ sqrt {\ Frac {1} {2}} }\left(Y_{3}^{-3}+Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi} }}\cdot {\frac {y\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{3}}}\\Y_{3,-2}&=f_{xyz} =i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2}-Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {105}{\pi}}}\cdot {\frac {xy\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,-1}&=f_{yz^ {2}}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}+Y_{3}^{1}\right)={\frac {1 }{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi}}}\cdot {\frac {y\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3} }}\\Y_{3,0}&=f_{z^{3}}=Y_{3}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {7}{ \pi }}}\cdot {\frac {5z^{3}-3zr^{2}}{r^{3}}}\\Y_{3,1}&=f_{xz^{2}}= {\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}-Y_{3}^{1}\right)={\frac {1}{4}}{ \sqrt {\frac {21}{2\pi}}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}\\Y_{ 3,2}&=f_{z(x^{2}-y^{2})}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2} +Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {105}{\pi}}}\cdot {\frac {\left(x^{ 2}-y^{2}\right)\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,3}&=f_{x(x^{2}-3y^{2})} ={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-3}-Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}} {\sqrt {\frac {35}{2\pi}}}\cdot {\frac {x\left(x^{2}-3y^{2}\right)}{r^{3}}}\ koniec {wyrównany}}}
ℓ = 4
Y
4 , - 4
= ja
1 2
(
Y
4
- 4
-
Y
4
4
)
=
3 4
35 π
⋅
x y
(
x
2
-
y
2
)
r
4
Y
4 , - 3
= ja
1 2
(
Y
4
- 3
+
Y
4
3
)
=
3 4
35
2 π
⋅
y ( 3
x
2
-
y
2
) ⋅ z
r
4
Y
4 , - 2
= ja
1 2
(
Y
4
- 2
-
Y
4
2
)
=
3 4
5 π
⋅
x y ⋅ ( 7
z
2
-
r
2
)
r
4
Y
4 , - 1
= ja
1 2
(
Y
4
- 1
+
Y
4
1
)
=
3 4
5
2 π
⋅
y ⋅ ( 7
z
3
- 3 z
r
2
)
r
4
Y
4 ,
0
=
Y
4
0
=
3 16
1 π
⋅
35
z
4
- 30
z
2
r
2
+ 3
r
4
r
4
Y
4 , 1
=
1 2
(
Y
4
- 1
-
Y
4
1
)
=
3 4
5
2 π
⋅
x ⋅ ( 7
z
3
- 3
z
r
2
)
r
4
Y
4 , 2
=
1 2
(
Y
4
- 2
+
Y
4
2
)
=
3 8
5 π
⋅
(
x
2
-
y
2
) ⋅ ( 7
z
2
-
r
2
)
r
4
Y
4 , 3
=
1
2
(
Y
4
- 3
-
Y
4
3
)
=
3 4
35
2 π
⋅
x (
x
2
- 3
y
2
) ⋅ z
r
4
Y
4 , 4
=
1 2
(
Y
4
- 4
+
Y
4
4
)
=
3 16
35 π
⋅
x
2
(
x
2
- 3
y
2
)
-
y
2
(
3
x
2
-
y
2
)
r
4
{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {4, -4} & = i {\ sqrt {\ Frac {1} {2}}} \ lewo (Y_ {4} ^ {-4} -Y_ {4} ^{4}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{\pi}}}\cdot {\frac {xy\left(x^{2}-y ^{2}\right)}{r^{4}}}\\Y_{4,-3}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^ {-3}+Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi}}}\cdot {\frac {y (3x^{2}-y^{2})\cdot z}{r^{4}}}\\Y_{4,-2}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}} }\left(Y_{4}^{-2}-Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi}} }\cdot {\frac {xy\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,-1}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-1}+Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac { 5}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,0}&= Y_{4}^{0}={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi}}}\cdot {\frac {35z^{4}-30z^{2 }r^{2}+3r^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4,1}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{ 4}^{-1}-Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi}}}\cdot {\ frac {x\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,2}&={\sqrt {\frac {1}{2}} }\left(Y_{4}^{-2}+Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi}} }\cdot {\frac {(x^{2}-y^{2})\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4, 3}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-3}-Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{ 4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi}}}\cdot {\frac {x(x^{2}-3y^{2})\cdot z}{r^{4}} }\\Y_{4,4}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-4}+Y_{4}^{4}\right)= {\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{\pi}}}\cdot {\frac {x^{2}\left(x^{2}-3y^{2} \right)-y^{2}\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{4}}}\end{wyrównane}}}
Wizualizacja rzeczywistych sferycznych harmonicznych
Mapy kątów biegunowych/azymutalnych 2D
Poniżej rzeczywiste
na
na
harmoniczne
Wizualna tablica rzeczywistych harmonicznych sferycznych reprezentowana jako mapy 2D Theta/Phi
Działki polarne
Poniżej przedstawiono rzeczywiste sferyczne harmoniczne na wykresach biegunowych. Wielkość sferycznej harmonicznej pod określonymi kątami biegunowymi i azymutalnymi jest reprezentowana przez nasycenie koloru w tym punkcie, a faza jest reprezentowana przez odcień w tym punkcie.
Wizualna tablica rzeczywistych harmonicznych sferycznych reprezentowana za pomocą wykresu biegunowego
Wykresy biegunowe z wielkością jako promieniem
Poniżej przedstawiono rzeczywiste sferyczne harmoniczne na wykresach biegunowych. Wielkość sferycznej harmonicznej pod określonym kątem biegunowym i azymutalnym jest reprezentowana przez promień wykresu w tym punkcie, a faza jest reprezentowana przez odcień w tym punkcie.
Wizualna tablica rzeczywistych harmonicznych sferycznych reprezentowana przez wykres biegunowy z wielkością odwzorowaną na promień
Wykresy biegunowe z amplitudą jako wysokością
Poniżej przedstawiono rzeczywiste sferyczne harmoniczne na wykresach biegunowych. Amplituda sferycznej harmonicznej (wielkość i znak) pod określonym kątem biegunowym i azymutalnym jest reprezentowana przez podniesienie wykresu w tym punkcie powyżej lub poniżej powierzchni jednorodnej kuli. Wielkość jest również reprezentowana przez nasycenie koloru w danym punkcie. Faza jest reprezentowana przez odcień w danym punkcie.
Wizualna tablica rzeczywistych sferycznych harmonicznych reprezentowana za pomocą wykresu biegunowego z amplitudą odwzorowaną na wysokość i nasycenie
Zobacz też
Linki zewnętrzne
Cytowane referencje
Ogólne odniesienia
