Test wielomianowy

W statystyce test wielomianowy jest testem hipotezy zerowej , że parametry rozkładu wielomianowego są równe określonym wartościom; jest używany do danych kategorycznych .

Począwszy od próbki $jednej$ , z których każdy został zaobserwowany jako należący do $kategorii$ . Można zdefiniować ${\ Displaystyle ~ \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {k}) ~}$ jako obserwowane liczby elementów w każdej komórce. Stąd ${\ Displaystyle ~ \ suma _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} = N ~.}$

Następnie definiując wektor parametrów ${\ Displaystyle ~ H_ {0}: {\ boldsymbol {\ pi}} = (\ pi _ {1}, \pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,}$ gdzie: ${\ Displaystyle ~ \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} = 1 ~.}$ To są wartości parametrów w ramach hipotezy zerowej .

Dokładne prawdopodobieństwo obserwowanej konfiguracji przy hipotezie zerowej jest podane przez ${\ displaystyle ~ \ mathbf {x} ~}$

${\ Displaystyle ~ \ operatorname {\ mathbb {P}} \ lewo (\ mathbf {x} \ prawej) _ {0} = N! \, \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {\ pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.}$

Prawdopodobieństwo istotności dla testu to prawdopodobieństwo wystąpienia obserwowanego zbioru danych lub zbioru danych mniej prawdopodobnego niż obserwowany, jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa. Za pomocą dokładnego testu oblicza się to jako

${\ Displaystyle ~ p _ {\ mathcal {[sig]}} = \ suma _ {\ mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P}} \left(\mathbf {y} \right)\,\leq \,\operatorname {\mathbb {P}} \left(\mathbf {x} \right )_{0}}\nazwa_operatora {\mathbb {P}} \left(\mathbf {y} \right)~}$

gdzie suma obejmuje wszystkie wyniki równie prawdopodobne lub mniej prawdopodobne niż zaobserwowane. W praktyce staje się to uciążliwe obliczeniowo wraz ze i ${\ displaystyle ~ N ~}$$,$ więc prawdopodobnie warto używać dokładnych testów tylko dla małych próbek W przypadku większych próbek przybliżenia asymptotyczne są wystarczająco dokładne i łatwiejsze do obliczenia.

Jednym z takich przybliżeń jest iloraz wiarygodności . Można zdefiniować alternatywną hipotezę, zgodnie z którą każda wartość jest zastępowana $przez$ maksymalnego prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle ~ p_ {i} = {\ Frac {\; x_ {i} \, {N}} ~.}$ Dokładne prawdopodobieństwo zaobserwowanej konfiguracji ${\ Displaystyle ~ \ mathbf {x} ~}$ pod alternatywna hipoteza jest podana przez

${\ Displaystyle ~ \ operatorname {\ mathbb {P}} \ lewo (\ mathbf {x} \ prawej) _ {A} = N! \; \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {\ ;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

Logarytm naturalny ilorazu wiarygodności między tymi dwoma prawdopodobieństwami pomnożony przez $-$$Displaystyle ~ -2$ wtedy statystyka dla testu ilorazu wiarygodności

${\ Displaystyle ~ -2 \ ln ([{\ mathcal {LR}}]) = -2 \; \ suma _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} \ ln \ lewo ({\ frac {\ pi _{i}}{p_{i}}}\right)~.}$

(Czynnik jest wybierany tak, aby statystyka miała asymptotyczny rozkład chi-kwadrat $używaną$ w tej samej aplikacji)

Jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, to wraz ze $L$ rozkład ${\ Displaystyle ~ -2 \ ln ([{\ mathcal {LR}}$ zbiega się z chi-kwadrat ze stopniami swobody ${\ displaystyle ~ k-1 ~} .$ Jednak od dawna wiadomo (np. Lawley), że dla skończonych rozmiarów próbek momenty ${\ Displaystyle ~ -2 \ ln ([{\ mathcal {LR}}]) ~}$ są większe niż chi-kwadrat, zwiększając w ten sposób prawdopodobieństwo błędów typu I (fałszywie dodatnich). Różnica między momentami chi-kwadrat i momentami statystyki testowej jest funkcją ${\ Displaystyle ~ N ^ {- 1} ~.}$$gdy$ można dopasować aż do momentu, statystyka testowa zostanie podzielona przez dany czynnik przez

${\ Displaystyle ~ q_ {1} = 1 + {\ Frac {\; \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ pi _ {i} ^ {- 1} \, - \, 1 \;} 6N(k-1)}}~.}$

$to$$,$ wartości są równe (tj. określa rozkład równomierny) upraszcza do

${\ Displaystyle ~ q_ {1} = 1 + {\ Frac {\, k + 1 \,} {\, 6N \,}} ~.}$

Następnie Smith i in . wyprowadził współczynnik podziału, który pasuje do pierwszego momentu o ile ${\ Displaystyle ~ N ^ {- 3} ~.}$ W przypadku równych wartości współczynnik ten wynosi ${\ Displaystyle ~ \ pi _ {i} ~,}$

${\ Displaystyle ~ q_ {2} = 1 + {\ Frac {\, k + 1 \,} {\, 6N \,}} + {\ Frac {\; k ^ {2} \,} {\; 6N ^{2}\,}}~.}$

Hipotezę zerową można również sprawdzić za pomocą testu chi-kwadrat Pearsona

${\ Displaystyle ~ \ chi ^ {2} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} {\ Frac {\; (x_ { i}-E_{i})^{2}\,}{E_{i}}}~}$

gdzie $}$$~$ jest oczekiwaną liczbą przypadków w kategorii hipotezie zerowej. Ta statystyka również zbiega się do rozkładu $góry$ -kwadrat ze stopniami swobody, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa, ale robi to raczej z dołu niż z ${\ Displaystyle ~ -2 \ ln ([{\ mathcal {LR}}]) ~}$$może$ dla .