Wykres theta

W geometrii obliczeniowej $jest$ wykres Theta lub -graph rodzajem klucza geometrycznego do wykresu Yao . Podstawowa metoda konstrukcji polega na podziale przestrzeni wokół każdego wierzchołka na zbiór stożków , które same dzielą pozostałe wierzchołki grafu. Podobnie jak wykresy Yao, za ${\ displaystyle \ Theta}$ -wykres zawiera co najwyżej jedną krawędź na stożek; gdzie się różnią, to sposób wybrania tej krawędzi. Podczas gdy wykresy Yao wybiorą najbliższy wierzchołek zgodnie z przestrzenią metryczną wykresu, wykres definiuje stały promień zawarty w każdym stożku (konwencjonalnie dwusieczną stożka) i wybiera najbliższego sąsiada pod względem ${\ displaystyle \ Theta}$ do rzutów prostopadłych do tego promienia. Otrzymany wykres wykazuje kilka dobrych właściwości klucza.

${\ displaystyle \ Theta}$ -wykresy zostały po raz pierwszy opisane przez Clarksona w 1987 i niezależnie przez Keila w 1988.

Budowa

Przykładowy stożek

\

wychodzącego z ortogonalnej linii projekcji

{\ displaystyle p}

displaystyle l}

${\ displaystyle \ Theta}$ -grafy są określone za pomocą kilku parametrów, które określają ich konstrukcję. Najbardziej oczywistym parametrem jest , który odpowiada liczbie stożków o równych kątach, które dzielą przestrzeń wokół każdego $wierzchołka$ W szczególności dla wierzchołka $można$ wokół sobie wyobrazić jako dwa nieskończone promienie wychodzące z niego pod kątem $k}$ ${\ displaystyle \ theta = 2 \$ $/$ między nimi. W odniesieniu do , możemy oznaczyć te stożki jako do do $\ displaystyle C_ {k}}$ $w kierunku$ do ruchu wskazówek zegara od do $\ displaystyle C_ {1}} do$ $displaystyle C_ {1}} }}$ , który konwencjonalnie otwiera się tak, że jego dwusieczna ma kąt 0 względem płaszczyzny. Gdy te stożki dzielą płaszczyznę, dzielą również pozostały zbiór wierzchołków wykresu (zakładając ogólną pozycję ) na zbiory ${\ Displaystyle V_ {1}}$ przez $p$ ponownie w odniesieniu do $\ displaystyle p$ . Każdy wierzchołek na grafie ma taką samą liczbę stożków w tej samej orientacji i możemy rozważyć zbiór wierzchołków, które mieszczą się w każdym z nich.

$\ displaystyle l}$ pod uwagę pojedynczy stożek, musimy określić inny promień wychodzący z , który będziemy oznaczać ${$ . Dla każdego wierzchołka w $Displaystyle v$ rzut ortogonalny każdego na $in V_ {i}$ \ \ $}$ Załóżmy, że jest $wierzchołkiem$ z najbliższym takim rzutem, a następnie krawędzią ${\ displaystyle \ {p, r \}}$ jest dodawany do wykresu. Jest to podstawowa różnica w stosunku do wykresów Yao, które zawsze wybierają najbliższy wierzchołek; na przykładowym obrazie wykres Yao zawierałby zamiast tego krawędź. ${\ displaystyle \ {p, q \}}$

Konstrukcja $-$ $_$ możliwa algorytmu w _

Nieruchomości

${\ Displaystyle \ Theta}$ -wykresy wykazują kilka dobrych geometrycznych właściwości klucza .

Gdy parametr jest $stałą$ , $- jest$ kluczem. $Ponieważ każdy stożek generuje co$ najwyżej jedną najwyżej

Współczynnik rozciągania pomiędzy dowolną parą punktów w kluczu definiowany jest jako stosunek ich odległości w przestrzeni metrycznej do ich odległości w obrębie klucza (tj. od kolejnych krawędzi klucza). Współczynnik rozciągnięcia całego klucza jest maksymalnym współczynnikiem rozciągnięcia dla wszystkich par punktów w nim zawartych. Przypomnijmy z góry, że ${\ Displaystyle \ theta = 2 \ pi / k}$ , wtedy gdy ${\ Displaystyle k \ geq 9}$ , ${\ Displaystyle \ Theta}$ -wykres ma współczynnik rozciągania co najwyżej ${\ Displaystyle 1 / (\ cos \ theta - \ sin \ theta)}$ . Jeśli ortogonalna linia rzutowania $każdym$ wybrana jako dwusieczna, to dla $grzech$ rozpiętości wynosi co ${\ Displaystyle 1 / (1-2 \ sin (\ pi / k))}$ .

Dla $k = 1}$ $displaystyle$ wykres - tworzy wykres najbliższego sąsiada . Dla $takie$ zauważyć, że wykres jest połączony, ponieważ każdy wierzchołek będzie łączył się z czymś po jego lewej stronie i czymś po prawej, jeśli k $\ Displaystyle k = 3}$ ${\ Displaystyle 6}$ 4 $\ Displaystyle 4}$ 5 $\ Displaystyle 5}$ i wiadomo , $wykres$ $połączony$ jest Wiele z tych wyników podaje również górne i/lub dolne granice ich współczynników rozpiętości.

Gdy Displaystyle ${k$ -graf $k$ { \ $_$ , gdzie same stożki są podzielone na zestawy parzyste i nieparzyste naprzemiennie, a krawędzie są uwzględniane tylko w stożkach parzystych (lub tylko w stożkach nieparzystych). pół- ${\ Displaystyle \ Theta _ {k}}$ -grafy są znane z tego, że same mają bardzo ładne właściwości. Na przykład wykres pół- $wykres -,$ a co za tym idzie który jest po prostu połączeniem dwóch uzupełniających się połówek ${6}}$ - ${\ Displaystyle \ Theta _ {6}}$ -grafy) jest znany jako 2-kluczowy.

Oprogramowanie do rysowania wykresów Theta

Zobacz też