Topologie Whitneya

W matematyce, a zwłaszcza w topologii różniczkowej , analizie funkcjonalnej i teorii osobliwości , topologie Whitneya to przeliczalnie nieskończona rodzina topologii zdefiniowanych na zbiorze gładkich odwzorowań między dwoma gładkimi rozmaitościami . Zostały nazwane na cześć amerykańskiego matematyka Hasslera Whitneya .

Budowa

Niech M i N będą dwiema rzeczywistymi, gładkimi rozmaitościami. Ponadto niech C ^∞ ( M , N ) oznacza przestrzeń gładkich odwzorowań między M i N . Notacja C ^∞ oznacza, że ​​odwzorowania są różniczkowalne w nieskończoność, tj. pochodne cząstkowe wszystkich rzędów istnieją i są ciągłe .

Whitney C ^k -topologia

Dla pewnej liczby całkowitej k ≥ 0 niech J ^k ( M , N ) oznacza k - jet przestrzeń odwzorowań między M i N . Przestrzeni strumieniowej można nadać strukturę gładką (tj. strukturę jako rozmaitość C ^∞ ), co czyni ją przestrzenią topologiczną. Ta topologia jest używana do zdefiniowania topologii na C ^∞ ( M , N ).

Dla ustalonej liczby całkowitej k ≥ 0 rozważmy podzbiór otwarty U ⊂ J ^k ( M , N ) i oznaczmy przez S ^k ( U ) co następuje:

${\ Displaystyle S ^ {k} (U) = \ {f \ w C ^ {\ infty} (M, N): (J ^ {k} f) (M) \ subseteq U \}.}$

Zbiory S ^k ( U ) tworzą podstawę dla topologii C ^k Whitneya na C ^∞ ( M , N ).

Whitney C ^∞ -topologia

Dla każdego wyboru k ≥ 0 topologia C ^k Whitneya daje topologię dla C ^∞ ( M , N ); innymi słowy ^{Ck -topologia} Whitneya mówi nam, które podzbiory C ^∞ ( M , N ) są zbiorami otwartymi. Oznaczmy przez W ^k zbiór otwartych podzbiorów C ^∞ ( M , N ) względem C ^k -topologii Whitneya. Następnie - topologia C ^{∞ Whitneya} jest definiowana jako topologia, której bazą jest W , gdzie:

${\ Displaystyle W = \ bigcup _ {k = 0} ^ {\ infty} W ^ {k}.}$

Wymiarowość

Zauważ, że C ^∞ ( M , N ) ma wymiar nieskończony, podczas gdy J ^k ( M , N ) ma wymiar skończony. W rzeczywistości J ^k ( M , N ) jest rzeczywistą rozmaitością o skończonych wymiarach. Aby to zobaczyć, niech ℝ ^k [ x ₁ ,…, x _m ] oznacza przestrzeń wielomianów o rzeczywistych współczynnikach, w m zmiennych rzędu najwyżej k i z zerem jako wyrazem stałym. To jest rzeczywista przestrzeń wektorowa z wymiarem

${\ Displaystyle \ dim \ lewo \ {\ mathbb {R} ^ {k} [x_ {1}, \ ldots, x_ {m}] \ prawo \} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} \frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}- 1\prawo).}$

Zapisując a = dim{ℝ ^k [ x ₁ ,…, x _m ] } wtedy, zgodnie ze standardową teorią przestrzeni wektorowych ℝ ^k [ x ₁ ,…, x _m ] ≅ ℝ ^a , i tak jest rzeczywistym, skończonym wymiarem Kolektor. Następnie zdefiniuj:

${\ Displaystyle B_ {m, n} ^ {k} = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {R} ^ {k} [x_ {1}, \ ldots, x_ {m}], \implikuje \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Używając b do oznaczenia wymiaru B ^km _{, , n} , widzimy, że n ^≅ _{B km ℝ b} , ^a więc jest rzeczywistą rozmaitością o skończonych wymiarach.

W rzeczywistości, jeśli M i N mają odpowiednio wymiar m i n , to:

${\ Displaystyle \ dim \! \ lewo \ {J ^ {k} (M, N) \ prawo \} = m + n + \ dim \! \ lewo \ {B_ {n, m} ^ {k} \ prawo \ }=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).}$

Topologia

^∞ Whitneya , przestrzeń C ^∞ ( M , N ) jest przestrzenią Baire'a , tj. każdy zbiór resztkowy jest gęsty .