Trójkąt Fuhrmanna

trójkąt Fuhrmanna (czerwony): $}}$ pierwsza punkty łukowe: ${\ Displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$

Trójkąt Fuhrmanna (czerwony): $\ Displaystyle \ trójkąt M_ {c} ^ {\ liczba pierwsza} M_ {b} ^ {\ liczba pierwsza} M_ {a} ^ {\ liczba pierwsza}}$${\ Displaystyle \ trójkąt M_ {c} ^ {\ pierwsza} M_ {b} ^ {\ pierwsza} M_ {a} ^ {\ pierwsza} \ sim \trójkąt M_{a}M_{b}M_{c}}$

Trójkąt Fuhrmanna , nazwany na cześć Wilhelma Fuhrmanna (1833–1904), jest specjalnym trójkątem opartym na zadanym dowolnym trójkącie.

Dla danego trójkąta i jego okręgu $opisanego,$ środkowe łuków na bokach trójkąta są oznaczone przez $}, M_{c}}$ . Te punkty środkowe odbijają się na powiązanych bokach trójkąta, dając punkty ${\ Displaystyle M_ {a} ^ {\ pierwsza}, M_ {b} ^ {\ pierwsza}, M_ {c} ^{\prime }}$ , co tworzy trójkąt Fuhrmanna .

Koło opisane na trójkącie Fuhrmanna to koło Fuhrmanna . Ponadto trójkąt Furhmanna jest podobny do trójkąta utworzonego $do {\ Displaystyle \ trójkąt M_ {c} ^ {\ pierwsza} M_{b}^{\prime }M_{a}^{\prime }\sim \triangle M_{a}M_{b}M_{c}}$ środkowe punkty łuku, to znaczy . Dla pola trójkąta Fuhrmanna obowiązuje następujący wzór:

${\ Displaystyle |\ trójkąt M_ {c} ^ {\ pierwsza} M_ {b} ^ {\ pierwsza} M_ {a} ^ {\ pierwsza }|={\frac {(a+b+c)|OI|^{2}}{4R}}={\frac {(a+b+c)(R-2r)}{4}}}$

Gdzie oznacza $displaystyle r}$$okręgu$ opisanego danego trójkąta i jego promień, a także oznacza środek i ${\ displaystyle I }$$trójkąt$$ABC$$Displaystyle \$ jego promień. Z twierdzenia Eulera mamy również ${\ Displaystyle | OI | ^ {2} = R (R-2r)}$ . Następujące równania obowiązują dla boków trójkąta Fuhrmanna:

${\ Displaystyle a ^ {\ pierwsza} = {\ sqrt {\ Frac {(-a + b + c) (a + b + c)} {bc}}} | OI |}$

${\ Displaystyle b ^ {\ pierwsza} = {\ sqrt {\ Frac {(ab + c) (a + b + c)}} {ac}}} | OI |}$

${\ Displaystyle c ^ {\ pierwsza} = {\ sqrt {\ Frac {(a + bc) (a + b + c)} {ab}}} | OI |}$

Gdzie $, c}$$do {\ Displaystyle \ trójkąt ABC}$ oznaczają boki danego trójkąta i ${\ Displaystyle a ^ {\ pierwsza },b^{\prime },c^{\prime }}$ boki trójkąta Fuhrmanna (patrz rysunek).