Trójkąt Hosoyi

Trójkąt Hosoyi lub trójkąt Hosoya (pierwotnie trójkąt Fibonacciego ; OEIS : A058071 ) to trójkątny układ liczb (podobnie jak trójkąt Pascala ) oparty na liczbach Fibonacciego . Każda liczba jest sumą dwóch liczb powyżej na lewej lub prawej przekątnej.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c} 1 \\ 1 \ quad 1 \\ 2 \ quad 1 \ quad 2 \\ 3 \ quad 2 \ quad 2 \ quad 3 \\ 5 \ quad 3 \ quad 4 \ quad 3\quad 5\\8\quad 5\quad 6\quad 6\quad 5\quad 8\\13\quad 8\quad 10\quad 9\quad 10\quad 8\quad 13\\21\quad 13 \quad 16\quad 15\quad 15\quad 16\quad 13\quad 21\\34\quad 21\quad 26\quad 24\quad 25\quad 24\quad 26\quad 21\quad 34\\55\quad 34\quad 42\quad 39\quad 40\quad 40\quad 39\quad 42\quad 34\quad 55\\89\quad 55\quad 68\quad 63\quad 65\quad 64\quad 65\quad 63\ quad 68\quad 55\quad 89\\144\quad 89\quad 110\quad 102\quad 105\quad 104\quad 104\quad 105\quad 102\quad 110\quad 89\quad 144\\\koniec {tablica }}}$

Diagram przedstawiający pierwsze 12 rzędów trójkąta Hosoyi

Nazwa

Nazwa „trójkąt Fibonacciego” była również używana w odniesieniu do trójkątów złożonych z liczb Fibonacciego lub liczb pokrewnych lub trójkątów z bokami Fibonacciego i obszarem całkowitym, stąd jest niejednoznaczna.

Nawrót

Liczby w tym trójkącie są zgodne z relacjami powtarzalności

${\ Displaystyle H (0,0) = H (1,0) = H (1,1) = H(2,1)=1}$

I

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H (n, j) & = H (n-1, j) + H (n-2, j) \\& = H (n-1, j-1) + H (n-2,j-2).\end{wyrównane}}}$

Związek z liczbami Fibonacciego

Wpisy w trójkącie spełniają tożsamość

${\ Displaystyle H (n, i) = F (i + 1) \ cdot F (ni + 1)}$

Zatem dwie najbardziej zewnętrzne przekątne to liczby Fibonacciego, podczas gdy liczby na środkowej pionowej linii to kwadraty liczb Fibonacciego. Wszystkie pozostałe liczby w trójkącie są iloczynem dwóch różnych liczb Fibonacciego większych niż 1. Sumy wierszy to pierwsze splecione liczby Fibonacciego .