Trójkąt pedałowy

Trójkąt ABC na czarno, prostopadłe z punktu P na niebiesko, a uzyskany trójkąt pedałowy LMN na czerwono.

W geometrii trójkąt pedałowy uzyskuje się przez rzutowanie punktu na boki trójkąta .

Dokładniej, rozważ trójkąt ABC i punkt P , który nie jest jednym z wierzchołków A, B, C. Opuść prostopadłe z P do trzech boków trójkąta (mogą one wymagać wytworzenia, tj. przedłużenia). Oznacz L , M , N przecięcia prostych z P z bokami BC , AC , AB . Trójkąt pedałów to wtedy LMN .

Jeśli ABC nie jest trójkątem rozwartokątnym, P jest ortocentrum, to kąty LMN wynoszą 180°-2A, 180°-2B i 180°-2C.

Położenie wybranego punktu P względem wybranego trójkąta ABC powoduje kilka szczególnych przypadków:

Jeśli P = ortocentrum , to LMN = trójkąt ortometryczny .
Jeśli P = incenter , to LMN = intouch trójkąt.
Jeśli P = środek okręgu opisanego , to LMN = trójkąt środkowy .

Przypadek, gdy P znajduje się na okręgu opisanym, a trójkąt pedału przeradza się w linię (czerwony).

Jeśli P znajduje się na okręgu opisanym na trójkącie, LMN zwija się w linię. Nazywa się to wtedy linią pedałów lub czasami linią Simsona na cześć Roberta Simsona .

Wierzchołki trójkąta pedałowego wewnętrznego punktu P , jak pokazano na górnym diagramie, dzielą boki oryginalnego trójkąta w taki sposób, aby spełnić twierdzenie Carnota :

{\ Displaystyle AN ^ {2} + BL ^ {2} + CM ^ {2} = NB ^ {2} + LC ^ {2} + MA ^ {2}.}

Współrzędne trójliniowe

Jeśli P ma współrzędne trójliniowe p : q : r , to wierzchołki L, M, N trójkąta pedałowego P są dane wzorem

L = 0 : q + p sałata C : r + p sałata B
M = p + q sałata C : 0 : r + q sałata A
N = p + r sałata B : q + r sałata A : 0

Trójkąt antypedałowy

Jeden wierzchołek, L' , trójkąta przeciwnożnego P jest punktem przecięcia prostopadłej do BP przechodzącej przez B i prostopadłej do CP przechodzącej przez C. Pozostałe jego wierzchołki, M ' i N ', są zbudowane analogicznie. Współrzędne trójliniowe są podane przez

L' = − (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C)(p + r cos B)
M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : − (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C)(q + r cos A)
N' = (q + r cos A)(r + p cos B) : (p + r cos B)(r + q cos A) : − (p + r cos B)(q + r cos A)

Na przykład trójkąt ekscentralny jest trójkątem antypedalnym środka.

Załóżmy, że P nie leży na żadnym z dłuższych boków BC, CA, AB i niech P ⁻¹ oznacza izogonalny koniugat P . Trójkąt pedałowy P jest homotetyczny do trójkąta przeciwnożnego P ^-1 . Centrum homotetyczne (które jest środkiem trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy P jest środkiem trójkąta) to punkt podany we współrzędnych trójliniowych przez

ap(p + q sałata C)(p + r sałata B) : bq(q + r sałata A)(q + p sałata C) : cr(r + p sałata B)(r + q sałata A) .

Iloczyn pól trójkąta pedałowego P i trójkąta przeciwnożnego P ^-1 jest równy kwadratowi pola trójkąta ABC .

Krąg pedałów

Koło pedału punktu

takie

.

izogonalny koniugat same

Koło pedału jest zdefiniowane jako koło opisane na trójkącie pedału. Zauważ, że koło pedału nie jest zdefiniowane dla punktów leżących na okręgu opisanym na trójkącie.

Koło pedału koniugatów izogonalnych

Dla dowolnego punktu, $który$ $opisanym$ na trójkącie, wiadomo, że i jego izogonalny koniugat $mają wspólny okrąg pedału,$ środek tych dwóch punktów

Linki zewnętrzne