Transformacja Chmaladze

W statystyce transformacja Khmaladze jest narzędziem matematycznym używanym do konstruowania wygodnych testów dobroci dopasowania dla hipotetycznych funkcji rozkładu . Dokładniej, załóżmy, że są iid , prawdopodobnie wielowymiarowymi, losowymi obserwacjami wygenerowanymi z nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ . Klasycznym problemem w statystyce jest podjęcie decyzji, jak dobrze dana hipotetyczna funkcja dystrybucji $dana$ hipotetyczna parametryczna rodzina funkcji dystrybucji: ${\ Displaystyle \ {F_ {\ theta}: \theta \in \Theta \}}$ , pasuje do zbioru obserwacji. Transformacja Khmaladze pozwala nam konstruować testy dobroci dopasowania o pożądanych właściwościach. Jej nazwa pochodzi od Estate V. Chmaladze .

Rozważ sekwencję $na$ funkcji dystrybucji ${\ Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ sekwencji iid zmiennych losowych, , gdy n wzrasta. Załóżmy $,$$_$ hipotetyczną dystrybucji każdego . Aby sprawdzić, czy wybór ${\ displaystyle F}$ jest poprawna, czy nie, statystycy używają znormalizowanej różnicy,

${\ Displaystyle v_ {n} (x) = {\ sqrt {n}} [F_ {n} (x) -F (x)].}$

Ten , jako losowy $w$$jest$ procesem empirycznym . Różne funkcjonały $są$ testowe . ${\ Displaystyle v_ {n} (x) = u_ {n} (t)$ } , ${\ displaystyle t = F (x)}$ przekształca się w tak zwany jednolity proces empiryczny ${\ displaystyle u_ {n}}$ . $[$ ostatni jest procesami empirycznymi opartymi na niezależnych zmiennych $\$ są na , if the $X_{i}$s do indeed have distribution function ${\ displaystyle F}$ .

Fakt ten został odkryty i po raz pierwszy wykorzystany przez Kołmogorowa (1933), Walda i Wolfowitza (1936) oraz Smirnowa (1937), a zwłaszcza po Doobie (1949) oraz Andersonie i Darlingu (1952) doprowadził do powstania standardowej reguły wyboru statystyki testowej na podstawie ${\ displaystyle v_ {n}}$ . Oznacza to, że statystyki testowe są zdefiniowane (które prawdopodobnie zależą od testowanego) w taki sposób, że istnieje ${\ displaystyle \ psi (v_ {n},$$)}$ inna statystyka ${\ Displaystyle \ varphi (u_ {n})}$ wywodzący się z jednolitego procesu empirycznego, tak że ${\ Displaystyle \ psi (v_ {n}, F) = \varphi (u_{n})}$ . Przykładami są

${\ Displaystyle \ sup _ {x} | v_ {n} (x) | = \ sup _ {t} | u_ {n} (t) | \ quad \ sup _ {x} {\ Frac {| v_ { n}(x)|}{a(F(x))}}=\sup _{t}{\frac {|u_{n}(t)|}{a(t)}}}$

I

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} v_ {n} ^ {2} (x) \, dF (x) = \ int _ {0} ^ {1} u_ {n} ^ { 2}(t)\,dt.}$

Dla wszystkich takich funkcjonałów ich rozkład zerowy (przy hipotetycznym $)$ nie zależy od $go$ obliczyć raz, a następnie użyć do przetestowania dowolnego ${\ displaystyle F$ .

$hipoteza$ , że trzeba przetestować prostą hipotezę, gdy podana jest ustalona . Znacznie częściej trzeba weryfikować hipotezy parametryczne, w których hipotetyczny zależy od niektórych parametrów. ${\ Displaystyle F = F _ {\ theta$$n }}}$ , których hipoteza nie precyzuje i które należy oszacować na podstawie próby ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ sam w sobie.

Chociaż estymatory najczęściej zbiegają się do prawdziwej wartości , odkryto, że parametryczny lub oszacowany proces empiryczny ${\ displaystyle {\ hat {$$\ theta}} _ {$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {n} (x) = {\ sqrt {n}} [F_ {n}(x)-F_{{\kapelusz {\theta}}_{n}}(x)]}$

różni się znacząco od i że przekształcony proces $\ Displaystyle {\ hat {u}} _ {n} (t)$$)$ , ${\ Displaystyle t = F _ {{\ kapelusz {\ theta}} _ {n}} (x)}$ ma rozkład, dla którego rozkład graniczny, jako ${\ Displaystyle n \ do \ infty}$ , zależy od postaci parametrycznej i od konkretnego estymatora $\$$}}$$Displaystyle {\ hat {\ theta}} _$ i ogólnie w ramach jednej rodziny parametrycznej , na wartości ${\ displaystyle \ theta}$ .

$,$ aby wyjaśnić sytuację i zrozumieć naturę procesu .

${\ displaystyle w_ {n}$$}$ i 1993 Chmaladze zasugerował zastąpienie parametrycznego procesu empirycznego jego częścią martyngałową .

${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {n} (x) -K_ {n} (x) = w_ {n} (x )}$

gdzie ${\ Displaystyle K_ {n} (x)}$ jest kompensatorem ${\ Displaystyle {\ hat {v}} _ {n} (x)}$ . Następnie ustalono następujące właściwości : ${\ displaystyle w_ {n}}$

• $,$ forma a zatem $n$ zależy od $}} _ {n}} (x)}$${\ Displaystyle F _ {{\ kapelusz$$czasie$ funkcja zarówno , $i$ , rozkład graniczny procesu przekształconego w

${\ Displaystyle \ omega _ {n} (t) = w_ {n} (x), t = F_ {{\ kapelusz {\ teta}} _ {n}} (x)}$

jest standardowym ruchem Browna na ${\ Displaystyle [0,1]}$ , tj. Ponownie jest standardowy i niezależny od wyboru ${\ Displaystyle F _ {{\ kapelusz {\ theta }}_{n}}}$ .

• Zależność między i między ich granicami oraz $}$ ich granicami jest jeden do jednego, więc wnioskowanie statystyczne oparte na ${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {n}}$$displaystyle {\ hat {v}} _ {n}$ lub na ${n}}$$\ displaystyle w_$ równoważne, aw nic nie jest stracone w porównaniu z ${\ Displaystyle {\ kapelusz {v}} _ {n}}$ .
• Konstrukcję martyngału innowacji $1$ przenieść na przypadek wartości wektorowych $Displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ \ dając początek definicji tak zwanych martyngałów skanujących w ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ .

Przez długi czas transformacja była znana, ale nadal nie była stosowana. Później prace badaczy takich jak Koenker , Stute, Bai , Koul, Koening i innych sprawiły, że stała się popularna w ekonometrii i innych dziedzinach statystyki.

Zobacz też

• Proces empiryczny

Dalsza lektura

•   Koul, HL; Swordson, E. (2011). „Transformacja Chmaladze” . Międzynarodowa Encyklopedia Nauk Statystycznych . Skoczek. s. 715–718. doi : 10.1007/978-3-642-04898-2_325 . ISBN 978-3-642-04897-5 .