Transformacja Kelvina

Transformata Kelvina to urządzenie stosowane w klasycznej teorii potencjału w celu rozszerzenia koncepcji funkcji harmonicznej , umożliwiając zdefiniowanie funkcji, która jest „harmoniczną w nieskończoności”. Ta technika jest również stosowana w badaniu subharmonicznych i nadharmonicznych .

Aby zdefiniować transformatę Kelvina ^f * ^funkcji f , należy najpierw rozważyć koncepcję inwersji w sferze w Rn w następujący sposób.

Możliwe jest użycie inwersji w dowolnej sferze, ale idee są najwyraźniejsze, gdy rozważamy kulę ze środkiem na początku.

Mając ustaloną kulę S (0, R ) o środku 0 i promieniu R , odwrócenie punktu x w R ⁿ definiuje się jako

{\ Displaystyle x ^ {*} = {\ Frac {R ^ {2}} {| x | ^ {2}}} x.}

A useful effect of this inversion is that the origin 0 is the image of $\infty$ , and $\infty$ is the image of 0. Under this inversion, spheres are transformed into spheres, and the exterior of a sphere is transformed to the interior, and vice versa.

Transformata Kelvina funkcji jest wtedy definiowana przez:

Jeśli D jest otwartym podzbiorem R ⁿ , który nie zawiera 0, to dla dowolnej funkcji f zdefiniowanej na D , transformata Kelvina f ^* z f względem kuli S (0, R ) wynosi

{\ Displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = {\ Frac {| x | ^ {n-2}} {R ^ {2n-4}}} f (x) = {\ Frac {1 }{|x^{*}|^{n-2}}}f(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}f\lewo({\ frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\prawo).}

Jedną z ważnych właściwości transformaty Kelvina i głównym powodem jej powstania jest następujący wynik:

Niech D będzie podzbiorem otwartym w R ⁿ , który nie zawiera początku 0. Wtedy funkcja u jest harmoniczną, podharmoniczną lub nadharmoniczną w D wtedy i tylko wtedy, gdy transformata Kelvina u ^* względem kuli S (0, R ) wynosi harmoniczna, subharmoniczna lub nadharmoniczna w D ^* .

Wynika to ze wzoru

{\ Displaystyle \ Delta u ^ {*} (x ^ {*}) = {\ Frac {R ^ {4}} {| x ^ {*} | ^ {n + 2}}} (\ Delta u) \ lewo({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\prawo).}

Zobacz też

William Thomson, Lord Kelvin (1845) „Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
William Thompson (1847) „Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
JL Doob (2001). Klasyczna teoria potencjału i jej probabilistyczny odpowiednik . Springer-Verlag. P. 26. ISBN 3-540-41206-9 .
Hełmy LL (1975). Wprowadzenie do teorii potencjału . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3 .
OD Kellogga (1953). Podstawy teorii potencjału . Dover. ISBN 0-486-60144-7 .
John Wermer (1981) Potential Theory 2nd edition, strona 84, Lecture Notes in Mathematics # 408 ISBN 3-540-10276-0