Transformata Anscombe'a

standardowe

przekształconej zmiennej losowej Poissona jako funkcja .

W statystyce transformata Anscombe'a , nazwana na cześć Francisa Anscombe'a , jest transformacją stabilizującą wariancję , która przekształca zmienną losową o rozkładzie Poissona w zmienną o w przybliżeniu standardowym rozkładzie Gaussa . Transformata Anscombe'a jest szeroko stosowana w obrazowaniu z ograniczoną liczbą fotonów (astronomia, promieniowanie rentgenowskie), gdzie obrazy w naturalny sposób podlegają prawu Poissona. Transformata Anscombe'a jest zwykle używana do wstępnego przetwarzania danych, aby odchylenie standardowe było w przybliżeniu stałe. Następnie stosowane są algorytmy odszumiania zaprojektowane dla szkieletu addytywnego białego szumu gaussowskiego ; ostateczne oszacowanie uzyskuje się następnie przez zastosowanie odwrotnej transformacji Anscombe'a do odszumionych danych.

Definicja

Dla rozkładu Poissona średnia i wariancja $\$ są niezależne: $displaystyle m =$ $}$ . Transformata Anscombe'a

{\ Displaystyle A: x \ mapsto 2 {\ sqrt {x + {\ tfrac {3} {8}}}} \,}

ma na celu takie przekształcenie danych, aby wariancja była ustawiona w przybliżeniu na 1 dla wystarczająco dużej średniej; dla średniej zerowej wariancja nadal wynosi zero.

Przekształca dane Poissona (ze $)$ $w$ przybliżeniu dane Gaussa o średniej ${\$ i odchylenie standardowe ${\ Displaystyle 1 + O \ lewo ({\ tfrac {1} {m ^ {2}}} \ prawej) }$ . To przybliżenie staje się dokładniejsze dla większych $na$ rysunku.

$m$ zmiennej postaci ${\ Displaystyle {\ Frac {$ wyrażenie na wariancję ma dodatkowy wyraz ; jest zredukowany do zera $co$ dla którego wybrano tę wartość.

Inwersja

Kiedy transformata Anscombe'a jest używana do odszumiania (tj. Gdy celem jest uzyskanie z oszacowania ), jej odwrotna $displaystyle x$ jest również potrzebna, aby zwrócić stabilizację wariancji i odszumienie $}$ dane $.$ pierwotnego zakresu Stosowanie odwrotności algebraicznej

{\ Displaystyle A ^ {- 1}: y \ mapsto \ lewo ({\ Frac {y} {2}} \ prawo) ^ {2} - {\ frak {3}{8}}}

zwykle wprowadza niepożądane odchylenie do oszacowania średniej $jest$ ponieważ przekształcenie pierwiastka kwadratowego do przodu nie liniowe . Czasami używając asymptotycznie nieobciążonej odwrotności

{\ Displaystyle y \ mapsto \ lewo ({\ Frac {y} {2}} \ prawej) ^ {2} - {\ Frac {1} {8}}}

łagodzi problem błędu systematycznego, ale nie ma to miejsca w przypadku obrazowania ograniczonego fotonami, dla którego dokładna nieobciążona odwrotność dana przez niejawne mapowanie

{\ Displaystyle \ operatorname {E} \ lewo [2 {\ sqrt { x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\sum _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{ 8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m}

należy używać. Przybliżenie w postaci zamkniętej tej dokładnej nieobciążonej odwrotności to

{\ Displaystyle y \ mapsto {\ Frac {1} {4}} y ^ {2} - {\ Frac {1} {8}} + {\ Frac {1} {4}} {\ sqrt {\ frac { 3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3} {2}}}y^{-3}.}

Alternatywy

Istnieje wiele innych możliwych transformacji stabilizujących wariancję dla rozkładu Poissona. Bar-Lev i Enis opisują rodzinę takich przekształceń, która obejmuje transformatę Anscombe. Kolejnym członkiem rodziny jest transformacja Freemana-Tukeya

{\ Displaystyle A: x \ mapsto {\ sqrt {x + 1}} + {\ sqrt {x}}. \,}

Uproszczona transformacja, otrzymana jako prymityw odwrotności odchylenia standardowego danych , to

{\ Displaystyle A: x \ mapsto 2 {\ sqrt {x}} \,}

który, chociaż nie jest tak dobry w stabilizowaniu wariancji, ma tę zaletę, że jest łatwiejszy do zrozumienia. Rzeczywiście, z metody delta ,

${\ Displaystyle V [2 {\ sqrt {x}}] \ około \ lewo ({\ frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\right)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\right) ^{2}m=1}$ .

Uogólnienie

Chociaż transformata Anscombe'a jest odpowiednia dla czystych danych Poissona, w wielu zastosowaniach dane przedstawiają również addytywną składową Gaussa. Przypadki te są traktowane przez uogólnioną transformatę Anscombe'a i jej asymptotycznie nieobciążone lub dokładnie nieobciążone odwrotności.

Zobacz też

Dalsza lektura

Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001), „Astronomiczne przetwarzanie obrazu i sygnału: spojrzenie na szum, informacje i skalę”, Signal Processing Magazine, IEEE , tom. 18, nie. 2, s. 30–40, Bibcode : 2001ISPM...18...30S , doi : 10.1109/79.916319 , S2CID 13210703