Twierdzenia Mertensa

W tym artykule zastosowano techniczną notację matematyczną dla logarytmów. Wszystkie przypadki log( x ) bez podstawy indeksu dolnego powinny być interpretowane jako logarytm naturalny , zwykle zapisywany jako ln ( x ) lub log _e ( x ).

W teorii liczb twierdzenia Mertensa to trzy wyniki z 1874 r. związane z gęstością liczb pierwszych udowodnione przez Franza Mertensa . „Twierdzenie Mertensa” może również odnosić się do jego twierdzenia w analizie .

Twierdzenia

W dalszej części niech $pierwsze$ wszystkie n .

Pierwsze twierdzenie Mertensa :

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik n} {\ Frac {\ log p} {p}} - \ log n}

nie przekracza 2 w wartości bezwzględnej dla dowolnego ${\ displaystyle n \ geq 2}$ . ( A083343 )

Drugie twierdzenie Mertensa :

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (\ suma _ {p \ równoważnik n} {\ frac {1}{p}}-\log \log nM\right)=0,}

gdzie M jest stałą Meissela-Mertensa ( A077761 ). Dokładniej, Mertens dowodzi, że wyrażenie pod granicą nie przekracza wartości bezwzględnej

{\ Displaystyle {\ Frac {4} {\ log (n + 1)}} + {\ Frac {2} {n \ log n}}}

dla dowolnego ${\ Displaystyle n \ geq 2}$ .

Trzecie twierdzenie Mertensa :

\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ log n \ prod _ {p \ równoważnik n} \ left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }\około 0,561459483566885,}

gdzie γ jest stałą Eulera-Mascheroniego ( A001620 ).

Zmiany w znaku

W artykule na temat tempa wzrostu funkcji sumy dzielników opublikowanej w 1983 roku Guy Robin udowodnił, że w drugim twierdzeniu Mertensa różnica

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik n} {\ Frac {1} {p}} - \ log \ log nM}

zmienia znak nieskończenie często i że w trzecim twierdzeniu Mertensa różnica

{\ Displaystyle \ log n \ prod _ {p \ równoważnik n} \ lewo (1- {\ Frac {1} {p}} \ prawej) -e^{-\gamma}}

zmienia znak nieskończenie często. Wyniki Robina są analogiczne do słynnego twierdzenia Littlewooda , że różnica π( x ) − li( x ) zmienia znak nieskończenie często. Żaden analog liczby Skewesa (górna granica pierwszej liczby naturalnej x , dla której π( x ) > li ( x )) nie jest znany w przypadku drugiego i trzeciego twierdzenia Mertensa.

Drugie twierdzenie Mertensa i twierdzenie o liczbach pierwszych

Jeśli chodzi o tę asymptotyczną formułę, Mertens odnosi się w swoim artykule do „dwóch ciekawych formuł Legendre'a”, z których pierwsza jest prototypem drugiego twierdzenia Mertensa (a druga jest prototypem trzeciego twierdzenia Mertensa: patrz pierwsze wiersze artykułu). Przypomina, że jest ona zawarta w trzecim wydaniu jego „Théorie des nombres” Legendre'a (1830; w rzeczywistości jest już wspomniana w wydaniu drugim, 1808), a także, że bardziej rozbudowana wersja została udowodniona przez Czebyszewa w 1851 roku. Należy zauważyć , że , już w 1737 roku Euler znał asymptotyczne zachowanie się tej sumy.

Mertens dyplomatycznie opisuje swój dowód jako bardziej precyzyjny i rygorystyczny. W rzeczywistości żaden z poprzednich dowodów nie jest akceptowalny według współczesnych standardów: obliczenia Eulera dotyczą nieskończoności (i logarytmu hiperbolicznego nieskończoności i logarytmu logarytmu nieskończoności!); Argument Legendre'a jest heurystyczny; a dowód Czebyszewa, choć doskonale uzasadniony, wykorzystuje hipotezę Legendre-Gaussa, która została udowodniona dopiero w 1896 roku i stała się lepiej znana jako twierdzenie o liczbach pierwszych .

Dowód Mertensa nie odwołuje się do żadnej nieudowodnionej hipotezy (w 1874 r.), a jedynie do elementarnej analizy rzeczywistej. Dzieje się to 22 lata przed pierwszym dowodem twierdzenia o liczbach pierwszych, które z kolei opiera się na dokładnej analizie zachowania funkcji zeta Riemanna jako funkcji zmiennej zespolonej. Dowód Mertensa jest pod tym względem niezwykły. Rzeczywiście, przy nowoczesnej notacji daje to

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik x} {\ Frac {1} {p}} = \ log \ log x+M+O(1/\log x)}

mając na uwadze, że można wykazać, że twierdzenie o liczbach pierwszych (w najprostszej postaci, bez oszacowania błędu) implikuje

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik x} {\ Frac {1} {p}} = \ log \ log x + M + o (1 / \ log x).}

W 1909 roku Edmund Landau , używając najlepszej dostępnej wówczas wersji twierdzenia o liczbach pierwszych, udowodnił, że

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik x} {\ Frac {1} {p}} =\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}

chwyty; $mniejszy$ szczególności składnik niż dla całkowitej Proste sumowanie przez części wykorzystujące najsilniejszą znaną postać twierdzenia o liczbach pierwszych poprawia to

{\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1 /5}})}

dla niektórych ${\ displaystyle c> 0}$ .

Podobnie częściowe sumowanie pokazuje, że ${\ Displaystyle \ suma _ {p \ równoważnik x} {\ Frac {\ log p} {p}} = \log x+C+o(1)}$ jest implikowane przez PNT.

Trzecie twierdzenie Mertensa i teoria sit

Oszacowanie prawdopodobieństwa braku czynnika ( X ≫ n {\ Displaystyle X \ gg n} ) $\ gg n$ podane $\$ $Displaystyle X} ( X ≫ n {$ Displaystyle X

{\ Displaystyle \ prod _ {p \ równoważnik n} \ lewo (1- {\ Frac {1} {p}} \ prawej)}

Jest to ściśle związane z trzecim twierdzeniem Mertensa, które daje asymptotyczne przybliżenie

{\ Displaystyle P (p \ nmid X \ \ forall p \ równoważnik n) = {\ Frac {1} {e ^ {\ gamma} \ log N}}}

Dowód

Głównym krokiem w dowodzie drugiego twierdzenia Mertensa jest

{\ Displaystyle O (n) + n \ log n = \ log n! = \ suma _ {p ^ {k} \ równoważnik n} \ lfloor n / p ^ { k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\równoważnik n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p= n\suma _{p^{k}\równoważnik n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}

${\ Displaystyle \ suma _ {p ^ {k} \ równoważnik n} \ log p = O (n)},$ co wynika z ${\ Displaystyle \ suma _ {p \ w (n, 2n]} \ log p \ równoważnik \ log {2n \ wybierz n} = O (n)}$ .