Twierdzenie Amitsura-Levitzkiego

W algebrze twierdzenie Amitsura – Levitzkiego stwierdza, że ​​algebra macierzy n × n na pierścieniu przemiennym spełnia pewną tożsamość stopnia 2 n . Udowodnili to Amisur i Levitsky ( 1950 ) . W szczególności pierścienie macierzowe są wielomianowymi pierścieniami tożsamościowymi takimi, że najmniejsza spełniana przez nie tożsamość ma stopień dokładnie 2 n .

Oświadczenie

Standardowy wielomian stopnia n to

${\ Displaystyle S_ {n} (x_ {1}, \ kropki, x_ { n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}{\text{sgn}}(\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}}$

w zmiennych niekomutujących x ₁ , ..., x _n , gdzie suma jest przejmowana przez wszystkie n ! elementy grupy symetrycznej S _n .

Twierdzenie Amitsura-Levitzkiego mówi, że dla macierzy n × n A ₁ , ..., A _{2 n} , których wpisy pochodzą z pierścienia przemiennego, to

${\ Displaystyle S_ {2n} (A_ {1}, \ kropki, A_ {2n}) = 0.}$

Dowody

Amitsur i Levitzki ( 1950 ) podali pierwszy dowód.

Kostant (1958) wydedukował twierdzenie Amitsura-Levitzkiego z twierdzenia Koszula-Samelsona o pierwotnej kohomologii algebr Liego .

Swan (1963) i Swan (1969) podali prosty dowód kombinatoryczny w następujący sposób. Przez liniowość wystarczy udowodnić twierdzenie, że każda macierz ma tylko jeden wpis niezerowy, czyli 1. W takim przypadku każdą macierz można zakodować jako skierowaną krawędź grafu o n wierzchołkach . Zatem wszystkie macierze razem dają graf o n wierzchołkach z 2 n skierowanymi krawędziami. Tożsamość zachodzi pod warunkiem, że dla dowolnych dwóch wierzchołków A i B grafu liczba nieparzystych ścieżek Eulera z A do B jest taka sama, jak liczba parzystych. (Tutaj ścieżka jest nazywana nieparzystą lub parzystą w zależności od tego, czy jej krawędzie wzięte w kolejności dają nieparzystą lub parzystą permutację 2 n krawędzi.) Łabędź wykazał, że tak jest, jeśli liczba krawędzi w grafie wynosi co najmniej 2 n , udowadniając w ten sposób twierdzenie Amitsura – Levitzkiego.

Razmyslov (1974) podał dowód związany z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona .

Rosset (1976) dał krótki dowód z wykorzystaniem algebry zewnętrznej przestrzeni wektorowej o wymiarze 2 n .

Procesi (2015) dał kolejny dowód, pokazując, że twierdzenie Amitsura – Levitzkiego jest tożsamością Cayleya – Hamiltona dla ogólnej macierzy Grassmana.

•     Amisur, AS ; Levitzki, Jakob (1950), „Minimalne tożsamości dla algebr” (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 1 (4): 449–463, doi : 10.1090 / S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN 0002- 9939 , JSTOR 2032312 , MR 0036751
•    Amisur, AS; Levitzki, Jakob (1951), „Uwagi na temat minimalnych tożsamości dla algebr” (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 2 (2): 320–327, doi : 10.2307/2032509 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032509
• Formanek, E. (2001) [1994], „Twierdzenie Amitsura – Levitzkiego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Formanek, Edward (1991), Tożsamości wielomianowe i niezmienniki macierzy n × n , Regionalna seria konferencji z matematyki, tom. 78, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-0730-7 , Zbl 0714.16001
•   Kostant, Bertram (1958), „Twierdzenie Frobeniusa, twierdzenie Amitsura – Lewickiego i teoria kohomologii”, J. Math. Mech. , 7 (2): 237–264, doi : 10.1512/iumj.1958.7.07019 , MR 0092755
•    Razmyslow, Ju. P. (1974), „Tożsamości ze śladem w pełnych algebrach macierzowych nad polem charakterystycznego zera”, Mathematics of the USSR-Izvestiya , 8 (4): 727, doi : 10.1070 / IM1974v008n04ABEH002126 , ISSN 0373-2436 , MR 0506414
•     Rosset, Shmuel (1976), „Nowy dowód tożsamości Amitsura – Levitskiego” , Israel Journal of Mathematics , 23 (2): 187–188, doi : 10.1007 / BF02756797 , ISSN 0021-2172 , MR 0401804 , S2CID 121625182
•     Swan, Richard G. (1963), „Zastosowanie teorii grafów do algebry” (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 14 (3): 367–373, doi : 10.2307/2033801 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033801 , MR 0149468
•     Swan, Richard G. (1969), „Korekta do„ Zastosowanie teorii grafów do algebry ” ” (PDF) , Proceedings of the American Mathematical Society , 21 (2): 379–380, doi : 10.2307/2037008 , ISSN 0002 -9939 , JSTOR 2037008 , MR 0255439
• Procesi, Claudio (2015), „O twierdzeniu Amisur-Levitzki”, Israel Journal of Mathematics , 207 : 151–154, arXiv : 1308,2421 , Bibcode : 2013arXiv1308.2421P , doi : 10.1007/s11856-014-1118-8