Twierdzenie Bernsteina-Kushnirenki

Twierdzenie Bernsteina-Kushnirenki (lub twierdzenie Bernsteina-Khovanskii-Kushnirenki (BKK) ), udowodnione przez Davida Bernsteina i Anatolija Kushnirenko w 1975 roku, jest twierdzeniem z algebry . Stwierdza, że ​​​​liczba niezerowych rozwiązań zespolonych układu równań wielomianowych Laurenta ${\ Displaystyle f_ {1} = \ cdots = f_ {n} = 0}$ jest równa objętości mieszanej wielomianów Newtona wielomianów, $}$ , że wszystkie niezerowe współczynniki są ${1}, \ ldots, f_ {n}$ ogólny. Dokładniejsze stwierdzenie brzmi następująco:

Oświadczenie

Niech będzie $podzbiorem$$\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ lewo [x_ {1} ^ {\ pm 1}, \ ldots, x_ {n} ^ {\ pm 1} \ right]} składający się z wielomianów Laurenta$$Rozważmy$ algebry wielomianowej Laurenta , których $wykładniki$ są . To jest:

${\ Displaystyle L_ {A} = \ lewo \ {f \ \ lewo | \, f (x) = \ suma _ {\ alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.}$

gdzie dla każdego my ${\ Displaystyle \ alpha = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ w \ mathbb {Z} ^ {n}$ } użyli notacji skróconej do oznaczenia jednomianu ${\ displaystyle x ^ {\ alfa}}$${\ Displaystyle x_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {a_ {n}}.}$

Teraz weź $Z$ podzbiory ${\ Displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$ n $Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$ , z odpowiednimi podprzestrzeniami wielomianów ${\ Displaystyle L_ {A_ {1}}, \ ldots, L_ {A_ {n}}.}$ Rozważ ogólny układ równań z tych podprzestrzeni, to znaczy:

${\ Displaystyle f_ {1} (x) = \ cdots = f_ {n} (x) = 0,}$

gdzie każdy $elementem$ ogólnym w (skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle L_ {A_ {i}}.}$

Twierdzenie Bernsteina-Kushnirenki stwierdza, że ​​liczba rozwiązań takiego systemu jest równa ${\ Displaystyle x \ in (\ mathbb {C} \ setminus 0) ^ {n}}$

${\ Displaystyle n! V (\ Delta _ {1}, \ ldots, \ Delta _ {n}),}$

gdzie ${\ Displaystyle V}$ oznacza $} }$ objętość Minkowskiego i dla każdego ${\ Displaystyle i, \ Delta _ {i$ wypukłym kadłubem zbioru punktów ja , . Oczywiście $jest$ wypukłym polytopem sieciowym można to interpretować jako polytope Newtona ogólnego elementu podprzestrzeni ${\ displaystyle L_ {A_ {i}}}$ .

$A_ {$$Displaystyle$ zestawy takie same, wtedy liczba rozwiązań ogólnego systemu wielomianów Laurenta z jest równa ${\ displaystyle L_ {A}}$

${\ Displaystyle n! \ nazwa operatora {tom} (\ delta),}$

gdzie $jest$ wypukłym kadłubem, $a$$jest$ zwykłą euklidesową. Zauważ, że chociaż objętość politopu sieciowego niekoniecznie jest liczbą całkowitą, staje się liczbą całkowitą po pomnożeniu przez ${\ displaystyle n!$ }

Drobnostki

Imię Kushnirenko jest również pisane jako Kouchnirenko. David Bernstein jest bratem Josepha Bernsteina . Askold Khovanskii znalazł około 15 różnych dowodów tego twierdzenia.