Twierdzenie Dudleya
W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Dudleya jest wynikiem wiążącym oczekiwaną górną granicę i właściwości regularności procesu Gaussa z jego strukturą entropii i kowariancji .
Historia
Wynik został po raz pierwszy podany i udowodniony przez VN Sudakova, jak wskazano w artykule Dudleya , „Praca VN Sudakova nad oczekiwaną supremą procesów Gaussa”, w High Dimensional Probability VII , wyd. C. Houdré, DM Mason, P. Reynaud-Bouret i Jan Rosiński, Birkhăuser, Springer, Progress in Probability 71 , 2016, s. 37–43. Dudley wcześniej przypisał Volkerowi Strassenowi znalezienie związku między entropią a regularnością.
Oświadczenie
Niech ( X t ) t ∈ T będzie procesem Gaussa i niech d X będzie pseudometryką na T zdefiniowaną przez
![d_{{X}}(s,t)={\sqrt {{\mathbf {E}}{\big [}|X_{{s}}-X_{{t}}|^{{2}}]}}.\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770206df9ebe1f1c09dbea1684a2951cbae3309d)
Dla ε > 0 oznaczmy przez N ( T , d X ; ε ) liczbę entropijną , czyli minimalną liczbę (otwartych) d X -kuli o promieniu ε potrzebną do pokrycia T . Następnie
![{\mathbf {E}}\left[\sup _{{t\in T}}X_{{t}}\right]\leq 24\int _{0}^{{+\infty }}{\sqrt {\log N(T,d_{{X}};\varepsilon )}}\,{\mathrm {d}}\varepsilon .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb0f5968f253567ccb5f75d5932eb0e68a73cd8)
Ponadto, jeśli całka entropijna po prawej stronie jest zbieżna, to X ma wersję z prawie całą ścieżką próbki ograniczoną i (jednostajnie) ciągłą na ( T , d X ).
- Dudley, Richard M. (1967). „Rozmiary zwartych podzbiorów przestrzeni Hilberta i ciągłość procesów Gaussa” . Dziennik analizy funkcjonalnej . 1 (3): 290–330. doi : 10.1016/0022-1236(67)90017-1 . MR 0220340 .
- Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Prawdopodobieństwo w przestrzeniach Banacha . Berlin: Springer-Verlag. s. XII + 480. ISBN 3-540-52013-9 . MR 1102015 . (Patrz rozdział 11)