Twierdzenie Fatou

W matematyce, szczególnie w analizie zespolonej , twierdzenie Fatou , nazwane na cześć Pierre'a Fatou , jest stwierdzeniem dotyczącym funkcji holomorficznych na dysku jednostkowym i ich punktowego rozszerzenia do granicy dysku.

Motywacja i stwierdzenie twierdzenia

Jeśli mamy funkcję holomorficzną $jednostkowym$ na otwartym dysku $, uzasadnione jest pytanie,$ możemy rozszerzyć tę funkcję na granicę dysku jednostkowego. Aby to zrobić, możemy przyjrzeć się, jak wygląda funkcja na każdym okręgu wewnątrz dysku wyśrodkowanym w punkcie 0, z których każdy ma $pewien$ . To definiuje nową funkcję:

\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} f_ {r}: S ^ {1} \ do \ mathbb {C} \ \f_{r}(e^{i\theta})=f(re^{i\theta})\end{przypadki}}}

Gdzie

{\ Displaystyle S ^ {1}: = \ {e ^ {i \ teta}: \ teta \ w [0,2 \ pi] \} = \ {z \ w \ mathbb {C}: | z|=1\},}

jest okręgiem jednostkowym. Wtedy można by oczekiwać, że wartości rozszerzenia na okrąg powinny być granicą tych funkcji, a więc pytanie sprowadza się do określenia, kiedy $zbiega$ się i $}$ w jakim sensie $granica$ jak dobrze zdefiniowana jest W szczególności, jeśli $\ displaystyle L ^ {p}$ normy tych $}$ są dobrze wychowane, mamy odpowiedź:

Twierdzenie. Niech

} \ do \ mathbb {C}}

będzie funkcją holomorficzną taką, że

{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ | f_ {r} \ | _ {L ^ {p} (S ^ {1}) }< \ infty,} gdzie fa r {\ displaystyle f_

{

}

są zdefiniowane jak powyżej. Wtedy

{\ Displaystyle f_ {r}}

zbiega się do jakiejś funkcji punktowo prawie wszędzie i

{\ Displaystyle f_ {1} \ w L ^ {p} (S ^ {1})}

w normie

{\ Displaystyle L ^ {p}}

. To znaczy,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo | f_ {r} (e ^ {i \ theta}) -f_{1}(e^{i\theta})\right|&\do 0&&{\text{dla prawie każdego }}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}- f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\do 0\end{wyrównane}}}

Teraz zauważ, że ta granica punktowa jest granicą radialną. Oznacza to, że granica jest brana wzdłuż linii prostej od środka dysku do granicy koła, a powyższe stwierdzenie mówi, że

{\ Displaystyle f (re ^ {i \ teta}) \ do f_ {1} (e ^ {i \ teta}) \ qquad {\ tekst {dla prawie każdego}} \ teta.}

Naturalnym pytaniem jest, czy po zdefiniowaniu tej funkcji brzegowej zbiegniemy się punktowo do tej funkcji, przyjmując granicę w jakikolwiek inny sposób? To znaczy, załóżmy, że zamiast podążać linią prostą do granicy, podążamy po dowolnej krzywej zbiegającej się do pewnego punktu ${\ Displaystyle \ gamma: [0,1} \ do \ mathbb {D}}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ theta}}$ na granicy. fa ${\ displaystyle f}$ zbiegnie się ${\ Displaystyle f_ {1} (e ^ {i \ theta})$ ? (Zauważ, że powyższe twierdzenie jest tylko szczególnym przypadkiem ${\ Displaystyle \ gamma (t) = te ^ {i \ theta}})$ . Okazuje się, że krzywa $niestyczna , co oznacza$ być , że krzywa nie zbliża się do celu na granicy w sposób, który czyni ją styczną do granicy koła. $słowy$ , zakres musi być zawarty w klinie wychodzącym z punktu granicznego. Podsumowujemy następująco:

Definicja. Niech ${\ Displaystyle \ gamma: [0,1) \ do \ mathbb {D}}$ będzie ciągłą ścieżką taką, że ${ \ displaystyle \ lim \ nolimits _ {t \ do 1} \ gamma (t) = e ^ {i \ theta} \ w S ^ {1}}$ . Definiować

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma _ { \alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \ cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{wyrównane}}}

Oznacza to, że jest klinem wewnątrz dysku o kącie $Displaystyle 2 \ alpha}$ $,$ między $e^{i\theta}}$ ${\$ i zero. Mówimy, że zbiega się niestycznie do $e ^ {i \ theta}}$ ${\ Displaystyle$ $}}$ że jest to granica niestyczna , jeśli istnieje ${\ displaystyle 0 <\ alfa <{\ tfrac {\ pi}$ $Displaystyle \ Gamma _ {\ alfa} (\ teta)}$ taki, że jest zawarty w $\$ i ${\ Displaystyle \ lim \ nolimits _ {t \ do 1} \ gamma (t) = e ^ {i \ theta}}$ .

Twierdzenie Fatou. Niech

{\ Displaystyle f \ w H ^ {p} (\ mathbb {D}).}

Następnie dla prawie wszystkich

{\ Displaystyle \ theta \ w [0,2 \ pi],}

{\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 1} f (\ gamma (t)) = f_ {1} (e ^ {i \ teta} )}

dla każdej niestycznej granicy

Displaystyle

do

e ^ {i \ theta},}

gdzie

jest powyżej.

Dyskusja

Dowód wykorzystuje symetrię jądra Poissona przy użyciu funkcji maksymalnej Hardy'ego-Littlewooda dla koła.
Analogiczne twierdzenie jest często definiowane dla przestrzeni Hardy'ego nad górną połową płaszczyzny i jest dowodzone w podobny sposób.

Zobacz też

Odporna przestrzeń

John B. Garnett, Ograniczone funkcje analityczne , (2006) Springer-Verlag, Nowy Jork
Krantz, Steven G. (2007). „Zachowanie graniczne funkcji holomorficznych: wyniki globalne i lokalne” . Asian Journal of Mathematics . 11 (2): 179–200. doi : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID 56367819 .
Waltera Rudina. Analiza rzeczywista i złożona (1987), wyd. 3, McGraw Hill, Nowy Jork.
Elias Stein , Całki osobliwe i właściwości różniczkowalności funkcji (1970), Princeton University Press, Princeton.