Twierdzenie Fostera

Ten artykuł dotyczy twierdzenia z teorii prawdopodobieństwa Markowa. Aby zapoznać się z twierdzeniem z elektrotechniki, zobacz twierdzenie Fostera o reaktancji .

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Fostera , nazwane na cześć Gordona Fostera , służy do wyciągania wniosków na temat pozytywnej powtarzalności łańcuchów Markowa z policzalnymi przestrzeniami stanów. Wykorzystuje fakt, że dodatnie powtarzające się łańcuchy Markowa wykazują pojęcie „ stabilności Lapunowa ” pod względem powrotu do dowolnego stanu, rozpoczynając od niego w skończonym przedziale czasu.

Twierdzenie

Rozważmy nieredukowalny łańcuch Markowa w czasie dyskretnym na przeliczalnej przestrzeni stanów S mającej macierz prawdopodobieństwa przejścia P z elementami p _ij dla par i , j w S . Twierdzenie Fostera stwierdza, $)$ istnieje funkcja Lapunowa , że ${\ Displaystyle V (i) \ geq 0 {\ tekst {}} \ forall {\ tekst {}} i \ w S}$ i

1. ${\ Displaystyle \ suma _ {j \ w S} p_ {ij} V (j) <{\ infty}}$ dla ${\ Displaystyle i \ w fa }$
2. ${\ Displaystyle \ suma _ {j \ w S} p_ {ij} V (j) \ równoważnik V (i) - \ varepsilon}$ dla wszystkich $}$

dla pewnego zbioru skończonego F i ściśle dodatniego ε .

Powiązane linki

• Optymalizacja Lapunowa