Twierdzenie Friedlandera-Iwańca

Johna Friedlandera

Henryka Iwańca

W analitycznej teorii liczb twierdzenie Friedlandera -Iwańca stwierdza, że ​​istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci za ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {4}$ . Kilka pierwszych takich liczb pierwszych to

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (sekwencja A028916 w OEIS ).

Trudność w tym stwierdzeniu polega na bardzo rzadkim charakterze tej sekwencji: liczba liczb całkowitych postaci jest mniejsza niż za ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {4}}$ mniej niż $\ Displaystyle X}$ jest z grubsza rzędu ${\ Displaystyle X ^ {3/4}}$ .

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione w 1997 roku przez Johna Friedlandera i Henryka Iwaniec . Iwaniec otrzymał w 2001 roku Nagrodę Ostrowskiego częściowo za wkład w tę pracę.

Udoskonalenia

Twierdzenie zostało udoskonalone przez DR Heath-Brown i Xiannan Li w 2017 roku. W szczególności udowodnili, że wielomian ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {4}}$ nieskończenie wiele liczb pierwszych, gdy zmienna za ${\ displaystyle b}$ również musi być liczbą pierwszą. Mianowicie $Displaystyle n}$ jeśli $w$ liczby pierwsze mniejsze niż ${\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {4} ,}$ postaci wtedy

$} {\ log {x}}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle v = 2 {\ sqrt {\ pi}} {\ Frac {\ Gamma (5/4)} {\ Gamma (7/4)}} \ prod _ {p \ równoważnik 1 {\ bmod {4} }}{\frac {p-2}{p-1}}\prod _{p\równoważnik 3{\bmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}.}$

Szczególny przypadek

Kiedy b = 1 , liczby pierwsze Friedlandera – Iwańca mają postać , tworząc zbiór za 2 $Displaystyle a ^ {2} + 1}$

2,5,17,37,101,197,257,401,577,677,1297,1601,2917,3137,4357,5477,7057,8101,8837,12101,13457,14401,15 377, … (sekwencja A002496 w OIS ).

Przypuszcza się (jeden z problemów Landaua ), że ten zbiór jest nieskończony. Jednak nie wynika to z twierdzenia Friedlandera-Iwańca.

Dalsza lektura

•   Cipra, Barry Arthur (1998), „Przesiewanie liczb pierwszych z cienkiej rudy”, Science , 279 (5347): 31, doi : 10.1126/science.279.5347.31 , S2CID 118322959 .