Twierdzenie Glaishera

W teorii liczb twierdzenie Glaishera jest tożsamością przydatną do badania partycji liczb całkowitych . Udowodniony w 1883 roku przez Jamesa Whitbreada Lee Glaishera , stwierdza, że ​​​​liczba podziałów liczby całkowitej ${$ części niepodzielne przez jest równa liczbie podziałów, w których żadna część się nie powtarza ${\ displaystyle d}$$displaystyle d}$ lub więcej razy. To uogólnia wynik ustalony w 1748 roku przez Leonharda Eulera dla sprawy ${\ displaystyle d = 2}$ .

Oświadczenie

Stwierdza, że ​​​​liczba podziałów liczby całkowitej $}$ części niepodzielne przez jest równa liczbie podziałów, w których żadna część nie jest powtórzona d lub więcej razy, co można zapisać formalnie re {\ $d$ jako partycje postaci ${\ Displaystyle n = \ lambda _ {1} + \ cdots + \ lambda _ {k}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ geq \ lambda _ {i + 1}} i$ λ $\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ geq \ lambda _ {i + d -1}+1}$ .

Kiedy staje $n}$$to$ szczególnym przypadkiem znanym jako twierdzenie Eulera, że ​​liczba podziałów na części jest równa liczbie podziałów $displaystyle$ na nieparzyste części.

W poniższych przykładach używamy notacji krotności partycji. Na przykład jest notacją dla partycji 1 + 1 + 1 + 1 $3$

Przykład dla d=2 (przypadek twierdzenia Eulera)

Wśród 15 przegród liczby 7 jest 5 zaznaczonych pogrubioną czcionką poniżej, które zawierają tylko części nieparzyste (tj. tylko liczby nieparzyste):

${\ Displaystyle \ mathbf {7}, 6 ^ {1} 1 ^ {1}, 5 ^ {1} 2 ^ {1} ,\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^ {3},\mathbf {3^{2}1^{1}},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3 ^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{ 7}}}$

Jeśli policzymy teraz podziały 7 z odrębnymi częściami (tj. tam, gdzie żadna liczba się nie powtarza), otrzymamy również 5:

${\ Displaystyle \ mathbf {7} \ mathbf {6 ^ {1} 1 ^ {1}} \ mathbf {5 ^ { 1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^ {1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^ {2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^ {7}}$

Pogrubione partycje w pierwszym i drugim przypadku nie są takie same i nie jest oczywiste, dlaczego ich liczba jest taka sama.

Przykład dla d=3

Wśród 11 partycji liczby 6 jest 7, zaznaczonych pogrubioną czcionką poniżej, które zawierają tylko części niepodzielne przez 3:

${\ Displaystyle 6, \ mathbf {5 ^ {1} 1 ^ {1}}, \ mathbf {4 ^ {1} 2 ^ {1}}, \ mathbf {4 ^ {1} 1 ^ {2}}, 3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2 }1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}} }$

A jeśli policzymy podziały 6 bez części, która powtarza się więcej niż 2 razy, otrzymamy również 7: ${\ Displaystyle \ mathbf {6}, \ mathbf {5 ^ {1}1 ^ {1}}, \ mathbf {4 ^ {1}2 ^ {1}}, \ mathbf {4 ^ {1} 1 ^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{ 3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}}$

Dowód

Dowód twierdzenia można uzyskać za pomocą funkcji generujących . Jeśli zauważymy $n )$$\ Displaystyle q_ {d} ($ bez części podzielnych przez re i partycji bez części powtórzonych więcej niż d-1 razy, to twierdzenie oznacza, że ​​dla wszystkich n ${\ displaystyle p_ {d} (n) = q_ {d} (n)}$ . Wyjątkowość zwykłych funkcji generujących oznacza, że ​​zamiast udowadniać, że dla wszystkich n wystarczy udowodnić, że ${\ Displaystyle p_ {d} (n) = q_ {d} (n)}$$p_ {d} (n)}$ Displaystyle i ${\ Displaystyle q_ {d} (n)}$ są równe, tj. że ${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {d} (n) x ^ {n} = \sum _{n=0}^{\infty}q_{d}(n)x^{n}}$ .

Każdą funkcję generującą można przepisać jako nieskończone iloczyny (metodą podobną do nieskończonego iloczynu funkcji podziału ):

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} p_ {d} (n) x ^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty}{\frac {1}{1-x^{n}}}} (tj. iloczyn wyrazów, gdzie$ n nie jest podzielna przez d ).

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} q_ {d} (n) x ^ {n} = \ prod _ { n=1}^{\infty}{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}}$

Jeśli rozwiniemy iloczyn nieskończony dla ${\ Displaystyle q_ {d} (n)}$ :

${\ Displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1-x ^ {dn}} {1-x ^ {n}}} = {\ Frac {1-x ^ {d} }{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k }}}\kropki }$

widzimy, że każdy wyraz w liczniku kasuje się z odpowiednią wielokrotnością d w mianowniku. To, co pozostaje po anulowaniu wszystkich wyrazów licznika, to dokładnie iloczyn nieskończony dla ${\ displaystyle p_ {d} (n)}$ .

$)}$ funkcje generujące dla są p $p_ {d} ($

Tożsamości Rogersa-Ramanujana

Główny artykuł: Tożsamości Rogersa-Ramanujana

Jeśli zamiast liczyć liczbę przegród z odrębnymi częściami, policzymy liczbę przegród z częściami różniącymi się o co najmniej 2, możliwe jest dalsze uogólnienie. Po raz pierwszy został odkryty przez Leonarda Jamesa Rogersa w 1894 r., a następnie niezależnie przez Ramanujana w 1913 r. i Schura w 1917 r., w tak zwanych tożsamościach Rogersa-Ramanujana . Twierdzi, że:

1) Liczba przegród, których części różnią się o co najmniej 2, jest równa liczbie przegród obejmujących tylko liczby przystające do 1 lub 4 (mod 5).

2) Liczba podziałów, których części różnią się co najmniej o 2, a najmniejszą częścią jest co najmniej 2, jest równa liczbie podziałów obejmujących tylko liczby przystające do 2 lub 3 (mod 5).

Przykład 1

Na przykład istnieją tylko 3 podziały po 7, pokazane poniżej pogrubioną czcionką, na części różniące się co najmniej o 2 (uwaga: jeśli liczba powtarza się w podziale, oznacza to różnicę 0 między dwiema częściami, stąd podział nie jest liczone):

${\ Displaystyle \ mathbf {7} \ mathbf {6 ^ {1} 1 ^ {1}} \ mathbf {5 ^ { 1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{ 1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1 }1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Są też tylko 3 partycje po 7 obejmujące tylko części 1, 4, 6:

${\ Displaystyle 7 \ mathbf {6 ^ {1} 1 ^ {1}}, 5 ^ {1} 2 ^ {1} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{ 3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{ 4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

Przykład 2

Jako przykład drugiego stwierdzenia tożsamości Rogersa-Ramanujana, rozważamy podziały 7 z dalszym ograniczeniem najmniejszej części co najmniej 2, a są tylko 2, pokazane pogrubioną czcionką poniżej:

${\ Displaystyle \ mathbf {7}, 6 ^ {1} 1 ^ {1}, \ mathbf {5 ^ {1} 2 ^ {1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^ {3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{ 4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Są też tylko 2 partycje po 7 obejmujące tylko części 2, 3, 7:

${\ Displaystyle \ mathbf {7}, 6 ^ {1} 1 ^ {1}, 5 ^ {1} 2 ^ {1} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3}, 3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{ 4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

Notatki

• DH Lehmera (1946). „Dwa twierdzenia o nieistnieniu na partycjach” . Byk. Amer. Matematyka soc. 52 (6): 538–544. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08605-X .