Twierdzenie Gowersa

W matematyce twierdzenie Gowersa , znane również jako twierdzenie Gowersa Ramseya i twierdzenie Gowersa FIN _k , jest twierdzeniem w teorii Ramseya i kombinatoryce . Jest to teoretyczny wynik Ramseya dotyczący funkcji ze skończonym wsparciem . Timothy Gowers pierwotnie udowodnił ten wynik w 1992 roku, motywowany problemem dotyczącym przestrzeni Banacha. Wynik został następnie uogólniony przez Bartošovą, Kwiatkowską i Lupiniego.

Definicje

Prezentacja i notacja pochodzi od Todorčevicia i różni się od pierwotnie podanej przez Gowersa.

Dla funkcji ${\ Displaystyle f \ okrężnica \ mathbb {N} \ do \ mathbb {N}$ $}$ wsparcie dla jest zdefiniowane ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (f) = \ {n: f (n) \ neq 0 \}}$ . ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ∈ niech ${\ Displaystyle \ operatorname {FIN} _ {k}}$ być zbiorem

{\ Displaystyle \ operatorname {FIN} _ {k} = {\ duży \ {} f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \mid \operatorname {supp} (f){\text{ jest skończone i }}\max(\operatorname {zakres} (f))=k{\ duży \}}}

fa $FIN} _ {n}}$ , ${\ Displaystyle g \ in \ operatorname {FIN} _ {m}}$ mają rozłączne podpory, definiujemy jako ich sumę $\{n,m\}}$ $,$ $k$ . Każda $.$ pod $}$ \ displaystyle +

T $okrężnica \ operatorname {FIN} _ {k + 1} \ do \ operatorname {FIN} _ {k}}$ \ jest zdefiniowana ${\ Displaystyle T (f) (n) = \ max \ {0, f (n) -1 \}}$ . Intuicyjnie, jeśli ${\ displaystyle f}$ $\ Displaystyle T (f)}$ reprezentowany jako stos kwadratowych bloków, gdzie $)$ $jest$ a wynikiem T usunięcia dolnego rzędu. Nazwa jest analogiczna do gry wideo . $\ Displaystyle T ^ {(k)}}$ $T}$ oznacza th iterację $displaystyle$ .

Sekwencja bloków ${\ Displaystyle (f_ {n})}$ w ${\ Displaystyle \ operatorname {FIN} _ {k}}$ jest taka, że ${\ Displaystyle \ max (\ operatorname {supp} (f_ {m})) <\ min (\ operatorname {supp} (f_ {m + 1}))}$ na każdy ${\ displaystyle m}$ .

Twierdzenie

Zauważ, że dla sekwencji bloków $i$ liczb $Displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {n$ ${\ Displaystyle m_ {1}<\ cdots <m_ {n}}$ indeksów suma ${\ Displaystyle T ^ {(k_ {1}}} (f_ {m_ {1}}) + \ cdots + T ^ {(k_ {n})} (f_ {m_ {n} })}$ jest zawsze zdefiniowane. Oryginalne twierdzenie Gowersa $n})$ $($ n { taka że wszystkie elementy postaci ${\ Displaystyle T ^ {(k_ {1}}} (f_ {m_ {1}}) + \ cdots + T ^ {(k_ {n})} (f_ {m_{n}})}$ mają ten sam kolor.

Standardowy dowód wykorzystuje ultrafiltry lub równoważnie niestandardową arytmetykę.

Uogólnienie

Intuicyjnie operację tetris można postrzegać jako usuwanie dolnego rzędu stosu pudełek. Naturalne jest pytanie, co by się stało, gdybyśmy spróbowali usunąć różne wiersze. Bartošová i Kwiatkowska rozważały szerszą klasę uogólnionych operacji tetris , w których możemy usunąć dowolny wybrany podzbiór wierszy.

Formalnie $_$ . _ _ _ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {F}} \ dwukropek \ operatorname {FIN} _ {k} \ do \ operatorname {FIN} _ {$ fa jest podane przez kompozycję z $tj$ . ${\ Displaystyle {\ kapelusz {F}} (f) (n) = F (f (n))}$ . Uogólnione operacje tetris są zbiorem dla wszystkich nie malejących surjekcji $\ Displaystyle F \ okrężnica \ mathbb {N} \ do \$ ${N}$ . W tym języku oryginalna operacja tetris jest indukowana przez mapę ${\ Displaystyle T \ dwukropek n \ mapsto \ max \ {n-1,0 \}}$ .

Bartošová i Kwiatkowska wykazali, że skończona wersja twierdzenia Gowersa obowiązuje dla zbioru uogólnionych operacji tetris. Lupini później rozszerzył ten wynik na nieskończony przypadek.

^ ^a ^b Gowers, WT (maj 1992). „Funkcje Lipschitza w przestrzeniach klasycznych” . Europejski Dziennik Kombinatoryki . 13 (3): 141–151. doi : 10.1016/0195-6698(92)90020-z . ISSN 0195-6698 .
^ ^a ^b ^c Bartošová, Dana; Kwiatkowska, Aleksandra (sierpień 2017). „Twierdzenie Ramseya Gowersa z operacjami wielokrotnymi i dynamiką grupy homeomorfizmów wachlarza Lelka” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 150 : 108–136. ar Xiv : 1411.5134 . doi : 10.1016/j.jcta.2017.02.002 . ISSN 0097-3165 . S2CID 5509501 .
^ ^a ^b Lupini, Martino (lipiec 2017). „Twierdzenie Ramseya Gowersa dla uogólnionych operacji tetris” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 149 : 101–114. doi : 10.1016/j.jcta.2017.02.001 . ISSN 0097-3165 . S2CID 37972507 .
^ ^a ^b Stevo., Todorcevic (2010). Wprowadzenie do przestrzeni Ramseya . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. ISBN 978-0-691-14541-9 . OCLC 879209040 .
Bibliografia _ Goldbring, Izaak; Lupini, Martino (2019). Niestandardowe metody w teorii Ramseya i kombinatorycznej teorii liczb . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 2239. doi : 10.1007/978-3-030-17956-4 . ISBN 978-3-030-17955-7 . ISSN 0075-8434 . S2CID 119677934 .

[:0-1] Gowers, WT (maj 1992). „Funkcje Lipschitza w przestrzeniach klasycznych” . Europejski Dziennik Kombinatoryki . 13 (3): 141–151. doi : 10.1016/0195-6698(92)90020-z . ISSN 0195-6698 .

[:2-2] Bartošová, Dana; Kwiatkowska, Aleksandra (sierpień 2017). „Twierdzenie Ramseya Gowersa z operacjami wielokrotnymi i dynamiką grupy homeomorfizmów wachlarza Lelka” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 150 : 108–136. ar Xiv : 1411.5134 . doi : 10.1016/j.jcta.2017.02.002 . ISSN 0097-3165 . S2CID 5509501 .

[:3-3] Lupini, Martino (lipiec 2017). „Twierdzenie Ramseya Gowersa dla uogólnionych operacji tetris” . Dziennik teorii kombinatorycznej, seria A. 149 : 101–114. doi : 10.1016/j.jcta.2017.02.001 . ISSN 0097-3165 . S2CID 37972507 .

[:1-4] Stevo., Todorcevic (2010). Wprowadzenie do przestrzeni Ramseya . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. ISBN 978-0-691-14541-9 . OCLC 879209040 .

[5] Bibliografia _ Goldbring, Izaak; Lupini, Martino (2019). Niestandardowe metody w teorii Ramseya i kombinatorycznej teorii liczb . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 2239. doi : 10.1007/978-3-030-17956-4 . ISBN 978-3-030-17955-7 . ISSN 0075-8434 . S2CID 119677934 .