Twierdzenie Jensena o pokryciu

W teorii mnogości twierdzenie Jensena o pokryciu stwierdza, że jeśli # 0^nie istnieje, to każdy nieprzeliczalny zbiór liczb porządkowych jest zawarty w konstruowalnym zbiorze o tej samej liczności. Nieformalnie ten wniosek mówi, że konstruowalny wszechświat jest bliski wszechświatowi wszystkich zbiorów. Pierwszy dowód pojawił się w ( Devlin & Jensen 1975 ). Silver później dał dowód bez drobnej struktury przy użyciu swoich maszyn , a ostatecznie Magidor ( 1990 ) dał jeszcze prostszy dowód.

Odwrotność twierdzenia Jensena o pokryciu jest również prawdziwa: jeśli 0 ^# istnieje, to przeliczalny zbiór wszystkich kardynałów mniejszych niż ℵ _ω nie może być objęty konstruowalnym zbiorem liczności mniejszym niż ℵ _ω .

W swojej książce Proper Forcing Shelah udowodnił mocną formę pokrywającego lematu Jensena.

Hugh Woodin stwierdza to jako:

Twierdzenie 3.33 (Jensen). Jedno z poniższych dotyczy.

(1) Załóżmy, że λ jest liczbą kardynalną w liczbie pojedynczej. Wtedy λ jest liczbą pojedynczą w L, a następnik kardynalny jest następnikiem kardynalnym w L.

(2) Każdy nieprzeliczalny kardynał jest niedostępny w L.

Devlin, Keith I .; Jensen, R. Björn (1975), „Marginalia do twierdzenia Silvera” , ISILC Logic Conference (Proc. Internat. Summer Inst. and Logic Colloq., Kiel, 1974) , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 499, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 115–142, doi : 10.1007/BFb0079419 , ISBN 978-3-540-07534-9 , MR 0480036
Magidor, Menachem (1990), „Reprezentowanie zbiorów liczb porządkowych jako policzalnych związków zbiorów w modelu rdzeniowym”, Transactions of the American Mathematical Society , 317 (1): 91–126, doi : 10.2307/2001455 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001455 , MR 0939805
Mitchell, William (2010), „Lemat pokrywający”, Handbook of Set Theory , Springer, s. 1497–1594, doi : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_19 , ISBN 978-1-4020-4843-2
Shelah, Saharon (1982), Właściwe zmuszanie , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 940, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0096536 , hdl : 10338.dmlcz/143570 , ISBN 978-3-540-11593-9 , MR 0675955

Notatki