Twierdzenie Kempe o uniwersalności

W 1876 roku Alfred B. Kempe opublikował swój artykuł O ogólnej metodzie opisywania krzywych płaskich n-tego stopnia autorstwa Linkworka, w którym wykazał, że dla dowolnej algebraicznej krzywej płaskiej można skonstruować powiązanie, które rysuje krzywą. Ten bezpośredni związek między powiązaniami a krzywymi algebraicznymi został nazwany twierdzeniem Kempe o uniwersalności, że każdy ograniczony podzbiór krzywej algebraicznej można prześledzić ruchem jednego z przegubów w odpowiednio dobranym łączniku. Dowód Kempe był wadliwy, a pierwszy kompletny dowód został dostarczony w 2002 roku na podstawie jego pomysłów.

Twierdzenie to zostało spopularyzowane, opisując je jako mówiące: „Można zaprojektować powiązanie, które podpisze twoje imię!”

Kempe uznał, że jego wyniki wskazują na istnienie powiązania rysunku, ale nie byłoby to praktyczne. On stwierdza

Chyba nie trzeba dodawać, że metoda ta nie byłaby praktycznie użyteczna ze względu na złożoność zastosowanych powiązań, co jest nieuniknioną konsekwencją doskonałej ogólności dowodu.

Następnie wzywa „artystę matematyka” do znalezienia prostszych sposobów osiągnięcia tego wyniku:

Metoda ma jednak znaczenie, ponieważ pokazuje, że istnieje sposób wyciągnięcia dowolnego przypadku; a różnorodność metod wyrażania poszczególnych funkcji, które już odkryto, czyni w najwyższym stopniu prawdopodobnym, że w każdym przypadku można znaleźć prostszą metodę. Artysta-matematysta ma jednak wciąż szerokie pole do odkrycia najprostszych połączeń opisujących poszczególne krzywe.

Seria animacji demonstrujących powiązania, które wynikają z twierdzenia Kempe o uniwersalności, jest dostępna dla krzywych paraboli, samoprzecinających się sześciennych, gładkich eliptycznych sześciennych i trifolium.

Prostsze powiązania rysunkowe

Podjęto kilka podejść, aby uprościć powiązania rysunkowe wynikające z twierdzenia Kempe o uniwersalności. Część złożoności wynika z powiązań, których Kempe używał do dodawania i odejmowania dwóch kątów, mnożenia kąta przez stałą i translacji obrotu ogniwa w jednym miejscu na obrót drugiego ogniwa w innym miejscu. Kempe nazwał te powiązania odpowiednio powiązaniami addytorowymi, odwracalnymi, mnożnikowymi i tłumaczącymi. Połączenie rysunkowe można uprościć, stosując mechanizmy różnicowe z przekładnią stożkową do dodawania i odejmowania kątów, przekładnie zębate do mnożenia kątów i napędy pasowe lub kablowe do przekładania kątów obrotu.

Innym źródłem złożoności jest ogólność zastosowania Kempe do wszystkich krzywych algebraicznych. Koncentrując się na sparametryzowanych krzywych algebraicznych, można zastosować algebrę podwójnych kwaternionów do uwzględnienia wielomianu ruchu i uzyskania powiązania rysunku. Zostało to rozszerzone, aby zapewnić ruch efektora końcowego, ale ponownie dla sparametryzowanych krzywych.

Specjalizacja krzywych do tych zdefiniowanych przez wielomiany trygonometryczne zapewniła inny sposób na uzyskanie prostszych powiązań rysunkowych. Krzywe Beziera można zapisać w postaci wielomianów trygonometrycznych , dlatego można zaprojektować system powiązań, który rysuje dowolną krzywą, która jest aproksymowana przez sekwencję krzywych Beziera.

Wizualizacje

Poniżej znajduje się przykład pojedynczego sprzężonego szeregowego mechanizmu łańcuchowego, zaprojektowanego przez Liu i McCarthy'ego, użytego do narysowania krzywej trifolium (po lewej) i krzywej hipocykloidalnej (po prawej). Korzystając z SageMath , ich projekt został zinterpretowany na tych obrazach. Kod źródłowy można znaleźć na GitHub .

Zobacz też

Sztywność konstrukcji

Linki zewnętrzne