Twierdzenie o ciągłości Lévy'ego

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Lévy'ego o ciągłości lub twierdzenie Lévy'ego o zbieżności , nazwane na cześć francuskiego matematyka Paula Lévy'ego , łączy zbieżność w rozkładzie sekwencji zmiennych losowych ze zbieżnością punktową ich funkcji charakterystycznych . Twierdzenie to jest podstawą jednego podejścia do udowodnienia centralnego twierdzenia granicznego i jest jednym z głównych twierdzeń dotyczących funkcji charakterystycznych.

Oświadczenie

Załóżmy, że mamy

• sekwencja zmiennych losowych ${\ textstyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ , niekoniecznie dzielących wspólną przestrzeń prawdopodobieństwa ,
• sekwencja odpowiednich $)$ , z definicji są

  ${\ Displaystyle \ varphi _ {n} (t) = \ nazwa operatora {E} \ lewo [e ^ {itX_ {n}} \ prawo] \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R} \ \ forall n \ w$

  $operatorem$

  $mathbb {N},}$

  gdzie jest wartości oczekiwanej .

Jeśli sekwencja funkcji charakterystycznych zbiega się punktowo do jakiejś funkcji ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {n} (t) \ do \ varphi (t) \ quad \ forall t \ w \ mathbb {R}}$

wtedy następujące stwierdzenia stają się równoważne:

• ${\ Displaystyle X_ {n}}$ zbiega się w rozkładzie do jakiejś zmiennej losowej X

  ${\ Displaystyle X_ {n} \ {\ xrightarrow {\ mathcal {D}}} \ X,}$

  tj. skumulowany dystrybuanty odpowiadające zmiennym losowym zbiegają się w każdym punkcie ciągłości cdf X ;
• ${\ textstyle \ {X_ {n} \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ jest ciasno :

  ${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ infty} \ lewo (\ sup _ {n} \ nazwa operatora {P} {\ duży [} \, | X_ {n} |> x \, {\ duży ]} \ prawo)=0;}$

• ${\ Displaystyle \ varphi (t)}$ jest charakterystyczną funkcją jakiejś zmiennej losowej X ;
• ${\ Displaystyle \ varphi (t)}$ jest ciągłą funkcją t ;
• ${\ Displaystyle \ varphi (t)}$ jest ciągły w t = 0.

Dowód

Rygorystyczne dowody tego twierdzenia są dostępne.