Twierdzenie Romanowa

Twierdzenie Romanowa

Typ	Twierdzenie
Pole	Teoria liczb addytywnych
Przypuszczalny przez	Alfonsa de Polignac
Przypuszczalny w	1849
Pierwszy dowód wg	Mikołaj Pawłowicz Romanow
Pierwszy dowód w	1934

W matematyce, a konkretnie w teorii liczb addytywnych , twierdzenie Romanowa jest twierdzeniem matematycznym udowodnionym przez Nikołaja Pawłowicza Romanowa. Stwierdza, że ​​przy ustalonej podstawie b zbiór liczb, które są sumą liczby pierwszej i dodatniej potęgi liczby całkowitej b , ma dodatnią niższą gęstość asymptotyczną .

Oświadczenie

Romanow początkowo stwierdził, że udowodnił twierdzenia: k abhängige Konstante bedeutet” i „In jedem Intervall (0, x) liegen mehr als bx Zahlen, weiche als Summe von einer Primzahl und einer Potenz von a darstellbar sind. Hier ist a eine gegebene ganze Zahl und b eine positive Konstante, welche nur von abhängt”. Te stwierdzenia przekładają się na „W każdym przedziale ${\ Displaystyle (0, x)}$ istnieje więcej niż $k$ , które można przedstawić jako sumę liczby pierwszej i - tej potęgi liczby całkowitej, gdzie jest pewną dodatnią stałą, która jest $x {\ displaystyle \ alpha x$ zależy tylko od $k$ " i" W każdym przedziale $jest$ więcej niż przedstawić jako sumę liczby pierwszej moc A . Tutaj a jest daną liczbą całkowitą, a $jest$ stałą, która zależy tylko odpowiednio od a . Drugie stwierdzenie jest ogólnie akceptowane jako twierdzenie Romanowa, na przykład w książce Nathansona.

Dokładniej, niech ${\ Displaystyle d (x) = {\ Frac {\ lewo \ vert \ {n \ równoważnik x: n = p + 2 ^ {k}, p \ {\ textrm {liczba pierwsza,}} \ k \ w \ mathbb {N} \}\right\vert }{x}}}$ i niech ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {d}} = \ liminf _ {x \ do \ infty} d (x)}$ , ${\ Displaystyle {\ overline {d}} = \limsup _{x\do \infty}d(x)}$ . Następnie twierdzenie Romanowa stwierdza, że ${\ displaystyle {\ podkreślenie {d}}> 0}$ .

Historia

Alphonse de Polignac napisał w 1849 r., że każdą liczbę nieparzystą większą niż 3 można zapisać jako sumę nieparzystej liczby pierwszej i potęgi 2. (Wkrótce zauważył kontrprzykład, a mianowicie 959). Odpowiada to przypadkowi ${ \displaystyle a=2}$ w oryginalnym oświadczeniu. Kontrprzykład 959 był zresztą wspomniany również w liście Eulera do Christiana Goldbacha , ale pracowali oni w przeciwnym kierunku, próbując znaleźć liczby nieparzyste, których nie da się wyrazić w formie.

W 1934 Romanow udowodnił to twierdzenie. Dodatnia stała $znana$$później$ przypadku była jako Romanowa Dokonano różnych szacunków dotyczących stałej, a także ${\ displaystyle {\ overline {d}}}$ Historię takich udoskonaleń przedstawiono poniżej. W szczególności, ponieważ ${\ Displaystyle {\ overline {d}}}$ jest mniejszy niż 0,5, co oznacza, że ​​liczby nieparzyste, których nie można wyrazić w ten sposób, mają dodatnią niższą gęstość asymptotyczną.

Udoskonalenia ${\ Displaystyle {\ overline {d}}}$ i ${\ Displaystyle {\ podkreślenie {d}}}$

Rok	dolna granica na ${\ displaystyle {\ podkreślenie {d}}}$	górna granica na ${\ Displaystyle {\ overline {d}}}$	dowód	Notatki
1950		${\ Displaystyle 0,5-5,06 \ razy 10 ^ {-80}}$	Paula Erdősa	; Pierwszy dowód nieskończenie wielu liczb nieparzystych, które nie mają postaci, poprzez wyraźny postęp arytmetyczny ${\ displaystyle 2 ^ {k} + p}$
2004	0,0868		Chen, Xun
2006	0,0933	0,49094093	Habsieger, Roblot	; Uwzględnia tylko liczby nieparzyste; nie dokładnie, patrz uwaga
2006	0,093626		Pintz	; pierwotnie okazał się 0,9367, ale znaleziono błąd i naprawienie go dałoby 0,093626
2010	0,0936275		Habsieger, Sivak-Fischler
2018	0,107648		Elsholtz, Schlage-Puchta

Uogólnienia

Analogiczne wyniki twierdzenia Romanowa zostały udowodnione na polach liczbowych przez Riegla w 1961 r. W 2015 r. twierdzenie to zostało również udowodnione dla wielomianów w polach skończonych. Również w 2015 roku podano postęp arytmetyczny liczb całkowitych Gaussa , których nie można wyrazić jako sumy liczby pierwszej Gaussa i potęgi 1 + i .